待ち時間

次の到着までの時間。ポアソン過程では指数分布、第 $k$ 到着まではガンマ分布。

まず構成的な見方です。連続する到着の間隔を $X_1,X_2,\dots$ と書くと、これらは独立に同じ指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ に従います（ポアソン過程の定義から、到着間隔は独立同分布の指数）。第 $k$ 到着までの時間はこれらの和 $T_k=X_1+X_2+\cdots+X_k,\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}\mathrm{Exp}(\lambda)$ として書けます。独立な指数の和がガンマになる（ガンマ分布の再生性）ので、$T_k\sim\mathrm{Gamma}(k,\lambda)$ が自然に出てきます。$E[T_k]=\sum E[X_i]=k\cdot(1/\lambda)=k/\lambda$ も、和として見れば期待値の線形性だけで分かります。

次が最重要の双対関係です。待ち時間（時間の言葉）と到着件数 $N(t)$（個数の言葉、$N(t)\sim\mathrm{Poisson}(\lambda t)$）は、同じ過程を別の角度から見たもので、次の同値が成り立ちます。 $\{T_k\le t\}\iff\{N(t)\ge k\}$ 左は「第 $k$ 到着が時刻 $t$ までに済んでいる」、右は「時刻 $t$ までの到着件数が $k$ 件以上ある」で、言葉を変えただけの同じ事象です。これを使うと、ガンマ分布の裾確率をポアソン分布の和で計算できます。具体例として $\lambda=2$ 件/時とし、$T_3\sim\mathrm{Gamma}(3,2)$（$E[T_3]=3/2=1.5$ 時間、$V[T_3]=3/2^2=0.75$）を考えます。「3件目が1時間以内に来ない」＝$\{T_3>1\}$ は、双対関係により「1時間以内の到着が2件以下」＝$\{N(1)\le2\}$ と同じ事象です。$N(1)\sim\mathrm{Poisson}(2)$ なので $P(N(1)\le2)=e^{-2}\Big(1+2+\tfrac{2^2}{2}\Big)=e^{-2}(1+2+2)=5e^{-2}\approx0.6767$ となり、したがって $P(T_3>1)\approx0.6767$、逆に $P(T_3\le1)\approx0.3233$ と求まります。ガンマの積分を直接やる代わりに、ポアソンの3項の和で済むわけです。これが「待ち時間」を独立した概念として学ぶ最大の御利益です。

「3件目が1時間以内に来ない」$\{T_3>1\}$ は双対関係で $\{N(1)\le2\}$ と同じ。$N(1)\sim\mathrm{Poisson}(2)$ より

$P(N(1)\le2)=e^{-2}(1+2+2)=5e^{-2}\approx0.6767$。よって $P(T_3>1)\approx0.6767$（$P(T_3\le1)\approx0.3233$）。