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待ち時間

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確率・用語

ひとことで言うと

ポアソン過程で「次の到着まで」「第k到着まで」かかる時間が待ち時間です。最大の見どころは、時間の見方（待ち時間 TkT_k）と件数の見方（N(t)N(t)）が表裏一体だという点。「3件目がt時間以内に来ない」は「t時間以内の到着が2件以下」とぴったり同じ事象です。

時間軸上に到着間隔X1,X2,X3を積み上げた図。第k到着時刻Tk=X1+…+Xkは独立な指数分布の和。時刻t=1の縦破線より左に到着が2件あるとき3件目はt=1より後でありN(1)≦2と同じ事象という双対関係を示すT_k=X1+…+Xk（指数の和）。{T3>t}⇔{N(t)≦2}X1T1X2T2X3T3t=1t=1までに2件到着3件目はt後（T3>1）時間 t

時間軸に到着間隔 X1,X2,X3X_1,X_2,X_3 を積み上げ。第 kk 到着は Tk=X1+⋯+XkT_k=X_1+\cdots+X_k（独立な指数の和）。tt までに2件 ⇒\Rightarrow 3件目は tt より後。{T3>t}⇔{N(t)≤2}\{T_3>t\}\Leftrightarrow\{N(t)\le2\} の双対関係。

数式で表すと

T1∼Exp(λ), Tk∼Gamma(k,λ)T_1\sim\mathrm{Exp}(\lambda),\ T_k\sim\mathrm{Gamma}(k,\lambda)

次の到着までの時間。ポアソン過程では指数分布、第 kk 到着まではガンマ分布。

待ち時間とは、ポアソン過程（concept: ポアソン過程）で「第 kk 到着が来るまでの時間」TkT_k のことです。到着間隔 Xi∼iidExp(λ)X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}\mathrm{Exp}(\lambda) の和なので Tk=X1+⋯+Xk∼Gamma(k,λ)T_k=X_1+\cdots+X_k\sim\mathrm{Gamma}(k,\lambda) となります（concept: ガンマ分布）。期待値は線形性から E[Tk]=k/λE[T_k]=k/\lambda、分散は Var[Tk]=k/λ2\mathrm{Var}[T_k]=k/\lambda^2。 このページの核心は**件数との双対関係**です。{Tk≤t}  ⟺  {N(t)≥k}\{T_k\le t\}\iff\{N(t)\ge k\}——「第 kk 到着が tt 以内に来た」と「tt 以内の到着件数が kk 以上」は同じ事象で、補事象をとると {Tk>t}  ⟺  {N(t)≤k−1}\{T_k>t\}\iff\{N(t)\le k-1\} です。この変換によりガンマ分布の裾確率をポアソン分布の有限和で計算できます。 具体例：λ=2\lambda=2 件/時、T3∼Gamma(3,2)T_3\sim\mathrm{Gamma}(3,2)、E[T3]=1.5E[T_3]=1.5 時間。「3件目が1時間以内に来ない」={T3>1}=\{T_3>1\} は {N(1)≤2}\{N(1)\le2\} と同じ。N(1)∼Poisson(2)N(1)\sim\mathrm{Poisson}(2) より P(N(1)≤2)=e−2(1+2+2)=5e−2≈0.677P(N(1)\le2)=e^{-2}(1+2+2)=5e^{-2}\approx0.677 なので P(T3>1)≈0.677P(T_3>1)\approx0.677、P(T3≤1)≈0.323P(T_3\le1)\approx0.323。ガンマの積分を直接やる代わりにポアソンの3項の和で済む。

試験に出る性質

定義

Tk=X1+⋯+XkT_k=X_1+\cdots+X_k、Xi∼iidExp(λ)X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}\mathrm{Exp}(\lambda)。Tk∼Gamma(k,λ)T_k\sim\mathrm{Gamma}(k,\lambda)。

件数との双対

{Tk≤t}  ⟺  {N(t)≥k}\{T_k\le t\}\iff\{N(t)\ge k\}。時間と件数は同じ過程の2つの見方。

裾確率の計算法

P(Tk>t)=P(N(t)≤k−1)P(T_k>t)=P(N(t)\le k-1)。ガンマの積分をポアソンの有限和に変換できる。

期待値と分散

E[Tk]=k/λE[T_k]=k/\lambda、Var[Tk]=k/λ2\mathrm{Var}[T_k]=k/\lambda^2。到着間隔の和として線形性で導く。

$T_1$ は指数

T1∼Exp(λ)T_1\sim\mathrm{Exp}(\lambda)。最初の1件だけが指数、k≥2k\ge2 でガンマ。

例で見る

λ=2\lambda=2 件/時、T3∼Gamma(3,2)T_3\sim\mathrm{Gamma}(3,2)。E[T3]=1.5E[T_3]=1.5 時間、Var[T3]=0.75\mathrm{Var}[T_3]=0.75。 P(T3>1)=P(N(1)≤2)=e−2(1+2+2)=5e−2≈0.677P(T_3>1)=P(N(1)\le2)=e^{-2}(1+2+2)=5e^{-2}\approx0.677。

つまずきポイント

  • TkT_k の形状パラメータを間違える（第 kk 到着なら Gamma(k,λ)\mathrm{Gamma}(k,\lambda)、形状は kk）
  • 双対の不等号を逆にする（{Tk>t}  ⟺  {N(t)≤k−1}\{T_k>t\}\iff\{N(t)\le k-1\}、件数は k−1k-1 以下）
  • 到着間隔が独立でないと思う（ポアソン過程では間隔 XiX_i は独立同分布の指数）

定着クイズ

λ=2\lambda=2 件/時のとき T3T_3 の期待値は？

「3件目が時刻 tt までに来ない」{T3>t}\{T_3>t\} と同じ事象は？

λ=2\lambda=2 で P(T3>1)P(T_3>1) は？

関連：#ポアソン過程#指数分布#ガンマ分布

この用語を扱う問題（1）