ポアソン過程

間隔の分布

到着間隔は独立に 指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ に従う（無記憶性をもつ）。

独立増分性・定常増分性

重ならない区間の件数は独立。区間の長さだけで分布が決まる（位置に依存しない）。

重ね合わせ（合成）

独立な率$\lambda_1,\lambda_2$の過程を合わせると率$\lambda_1+\lambda_2$のポアソン過程になる。

間引き（thinning）

各イベントを確率pで独立に採用すると、採用された過程は率$\lambda p$のポアソン過程になる。

件数の共分散 min(s,t)

$s<t$ のとき $\mathrm{Cov}(N_s,N_t)=\lambda s=\lambda\min(s,t)$。相関係数は $\rho=\sqrt{s/t}$。ブラウン運動の $\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t)$（ブラウン運動）と同型の関係。

総数が分かっているときの部分区間への二項分割

$N_t=k$ が分かっているとき、より短い区間 $[0,s]\ (s<t)$ での件数 $N_s$ は条件付きで二項分布 $\mathrm{Binomial}(k,s/t)$ に従う（各到着が独立に確率 $s/t$ で区間 $[0,s]$ に落ちると考えられる）。2022年度は $E[N_{3t}\mid N_{4t}=1]=1\times\frac34=\frac34$ をこの発想で求める出題。