和

独立な確率変数の和：期待値は和、分散も和（独立時）。正規どうしは正規。

実務でしばしば必要になるのは、平均・分散だけでなく和の分布そのものです。これは状況に応じて3つの方法を使い分けます。(1) 同じ族で加法性がある場合——正規どうし・ポアソンどうしなどは、加法性（再生性）をそのまま使えます。たとえば独立な正規の和は再び正規で、平均と分散を足すだけでパラメータが決まります。(2) 独立だが異なる族の場合——加法性が使えないので、密度の畳み込み $f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$（畳み込み）を計算するか、積率母関数の積 $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$ を求めてから分布を読み取ります。積率母関数のほうが積の計算で済むぶん楽なことが多いです。(3) 独立でない場合——和の分布を一般に閉じた形で書くのは難しく、多くの場面では平均と $\mathrm{Cov}$ 項を含む分散だけを求めて済ませます（分布全体が必要ならコピュラやシミュレーションに頼る）。

この『モーメントは簡単、分布は方法を選ぶ』という二段構えが和を扱う核心です。具体例で確認しましょう。$X\sim N(2,4),\ Y\sim N(1,9)$ が独立とします。モーメントは平均 $=2+1=3$、分散 $=4+9+2\cdot0=13$（独立なので $\mathrm{Cov}=0$）。さらに分布は——正規どうしの加法性（方法(1)）から $X+Y\sim N(3,13)$ と一発で決まります。もし $X$ がポアソン、$Y$ が二項のように族が違えば(1)は使えず、畳み込みか積率母関数の積(2)に切り替える、という判断になります。試験では『平均・分散を出すだけの問題』と『分布まで聞く問題』を読み分け、後者では加法性が使えるかをまず確認するのが定石です。

分布：正規の加法性より $X+Y\sim N(3,13)$（平均3・分散13）。族が一致するので再生性で一発で決まる。