畳み込み

知識マップ

確率・公式

ひとことで言うと

「独立な2つの確率変数を足したとき、その和の分布がどうなるか」を計算する操作です。2つの密度を“ずらしながら掛けて足す”ことで和の密度が求まり、例えば一様分布2つの和は三角分布になります。

独立な一様分布 $U(0,1)$ を2個足すと、上段の箱形2つが“畳み込まれて”下段の三角分布になる。中央（和が1付近）が最も出やすく、両端（0や2付近）はほとんど出ない。

数式で表すと

$f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$

独立な確率変数の和の密度は各密度の畳み込み。一様2個の和は三角分布。

独立な連続確率変数

X,Y

の和

Z=X+Y

の密度は、各密度の畳み込みで与えられます：

f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)\,f_Y(z-x)\,dx

この式の意味は「和が

z

になる組み合わせを全部足す」ことです。

z

を固定して

x

を動かすと、

X=x

かつ

Y=z-x

（足して

z

）という組み合わせがちょうど対応します。その密度

f_X(x)f_Y(z-x)

（独立なので積）を、あらゆる

x

について積分して集めると、

Z=z

になる密度が得られる、という仕組みです。離散の場合は積分が和に変わるだけで、考え方は同じです。最も分かりやすい例が一様分布2個の和です。

X,Y

がともに

U(0,1)

のとき、和

Z=X+Y

は区間

(0,2)

上の三角分布になります。

z=1

（ちょうど真ん中）になる組み合わせは「

0.5+0.5

」「

0.2+0.8

」「

0.9+0.1

」…と無数にあって最も多く、逆に

z=0

に近い（両方とも0付近）や

z=2

に近い（両方とも1付近）組み合わせはまれです。だから真ん中が高く両端が0の三角形になります。これは積分で書くと、重なり区間の長さがそのまま密度になることに対応します。畳み込みは「和の分布＝再生性」を調べる基本道具でもあります。例えば独立な正規分布の和はまた正規分布、独立なポアソンの和はまたポアソン、独立なガンマ（同じ尺度）の和はまたガンマ、といった再生性は、畳み込み積分（や母関数）を計算することで確かめられます。

試験に出る性質

和の密度の公式

独立なら $f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$ 。離散では積分が和に変わる。

独立性が前提

畳み込みの式は $X,Y$ が独立で同時密度が積に分かれるときに成り立つ。

一様2個＝三角分布

$U(0,1)$ を2個足すと区間 $(0,2)$ の三角分布。中央が最も出やすい。

再生性の確認道具

正規×正規＝正規、ポアソン×ポアソン＝ポアソンなど、和の分布が同じ族になることを示せる。

母関数との関係

和の確率母関数・積率母関数は各母関数の積になる。畳み込みの“掛け算版”として計算が楽になることが多い。

例で見る

独立な $X,Y\sim U(0,1)$ の和 $Z=X+Y$ の密度を $z=1$ で求める。 $0<x<1$ かつ $0<z-x<1$ を満たす $x$ の範囲は $0<x<1$ なので $f_Z(1)=\int_0^1 1\cdot1\,dx=1$ 。三角分布の頂点（最も density が高い点）で、ここから両側へ直線的に0まで下がる。

つまずきポイント

独立でないのに畳み込みの式を使う（同時密度が積に分かれることが前提）
積分の中で $f_Y(z-x)$ の引数を $z-x$ ではなく $x-z$ などと書き間違える
積分範囲を無限のままにして、各密度の台（値が0でない範囲）による制限を見落とす

定着クイズ

独立な $X,Y$ の和の密度を与える畳み込みの式は？

独立な $U(0,1)$ を2個足した和の分布は？

畳み込みの式を使う前提条件は？