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確率・公式・多変量・合成
「独立な2つの確率変数を足したとき、その和の分布がどうなるか」を計算する操作です。2つの密度を"ずらしながら掛けて足す"ことで和の密度が求まり、例えば一様分布2つの和は三角分布になります。
独立な一様分布 を2個足すと、上段の箱形2つが"畳み込まれて"下段の三角分布になる。中央（和が1付近）が最も出やすく、両端（0や2付近）はほとんど出ない。
独立な連続確率変数 の和 の密度は、各密度の畳み込みで与えられます：
和の密度の公式
独立なら
独立な の和 の密度を
独立な の和の密度を与える畳み込みの式は？
独立な を2個足した和の分布は？
畳み込みの式を使う前提条件は？
独立な確率変数の和の密度は各密度の畳み込み。一様2個の和は三角分布。
最も分かりやすい例が一様分布2個の和です。 がともに のとき、和 は区間 上の三角分布になります。（ちょうど真ん中）になる組み合わせは「」「」「」…と無数にあって最も多く、逆に に近い（両方とも0付近）や に近い（両方とも1付近）組み合わせはまれです。だから真ん中が高く両端が0の三角形になります。これは積分で書くと、重なり区間の長さがそのまま密度になることに対応します。
畳み込みは「和の分布＝再生性」を調べる基本道具でもあります。例えば独立な正規分布の和はまた正規分布、独立なポアソンの和はまたポアソン、独立なガンマ（同じ尺度）の和はまたガンマ、といった再生性は、畳み込み積分（や母関数）を計算することで確かめられます。
独立性が前提
畳み込みの式は が独立で同時密度が積に分かれるときに成り立つ。
一様2個＝三角分布
を2個足すと区間 の三角分布。中央が最も出やすい。
再生性の確認道具
正規×正規＝正規、ポアソン×ポアソン＝ポアソンなど、和の分布が同じ族になることを示せる。
母関数との関係
和の確率母関数・積率母関数は各母関数の積になる。畳み込みの"掛け算版"として計算が楽になることが多い。
差の畳み込み
の密度は （独立時）。和の公式で を に置き換えたもの。2023年度は独立な どうしの差の三角分布を求める出題。
区間が異なる一様分布の和は台形分布
同じ区間長の一様分布どうしの和は三角分布になるが、区間の長さが異なる一様分布どうしの和は台形分布（頂上が平らな部分をもつ）になる。2025年度は異なる時間帯の一様分布（就寝時刻・起床時刻）の和（睡眠時間）でこのパターンが出題された。
。
三角分布の頂点（最も density が高い点）で、ここから両側へ直線的に0まで下がる。