線形結合

$aX+bY$ の期待値と分散。独立な正規の線形結合は再び正規。

もうひとつ重要なのが、正規分布の任意の線形結合はふたたび正規になることです。$X,Y$ が（同時に）正規なら、どんな実数 $a,b$ に対しても $aX+bY$ は1変量の正規分布に従い、そのパラメータは上のマスター公式で計算した平均と分散です。だから正規の世界では、いくつ変数を線形に組み合わせても正規のままで、確率計算は標準正規 $Z$ への変換だけで完結します（2変量正規・正規分布）。

この公式が真価を発揮するのが保険・金融のポートフォリオです。$X,Y$ を2つの損失（またはリスク資産）とすると、$aX+bY$ は組み合わせ後のポートフォリオ損失で、その分散がリスクの大きさを表します。クロス項 $2ab\,\mathrm{Cov}$ の符号を負にできれば（たとえば $a>0,b<0$ で $\mathrm{Cov}>0$）、分散を打ち消す方向に働かせられます——これがヘッジの数理です。具体例：$X\sim N(100,400),\ Y\sim N(80,900),\ \mathrm{Cov}(X,Y)=180$ とします。単純合計 $L=X+Y$ の分散は $V[L]=400+900+2\cdot180=1660$。 一方、$Y$ を半分だけ売る（空売りする）ヘッジ $Z=X-0.5Y$ の分散は $V[Z]=1^2\cdot400+(-0.5)^2\cdot900+2\cdot1\cdot(-0.5)\cdot180=400+225-180=445$。 分散が $1660\to445$ へ激減しました。係数の選び方ひとつでリスクが約4分の1になる——これは『正の相関をもつ資産は、片方を逆向きに持つと変動が相殺される』という保険引受・分散投資の核心的な直感を、マスター公式が定量的に与えてくれている例です。

合計 $L=X+Y$：$V[L]=400+900+2\cdot180=1660$。

ヘッジ $Z=X-0.5Y$：$V[Z]=1^2\cdot400+(-0.5)^2\cdot900+2\cdot1\cdot(-0.5)\cdot180=400+225-180=445$。分散が $1660\to445$ に激減。