2変量正規

最も試験に出る性質は、確率変数の独立と無相関の関係です。一般論としては『独立ならば無相関』は常に成り立つ一方、その逆『無相関ならば独立』は一般には成り立ちません（相関の項で扱う通り、無相関でも依存していることがある）。ところが2変量正規分布に限っては、無相関 $\rho=0$ ならば独立も成り立つのです。これは正規分布だけがもつ特別な性質です。なぜなら2変量正規の同時密度は、$\rho=0$ を代入すると指数部分が $x$ の関数と $y$ の関数の和にきれいに分かれ、密度全体が $f_X(x)\cdot f_Y(y)$ という積の形に因数分解できるからです。積に分かれること自体が独立の定義そのものなので、正規では無相関 $\Rightarrow$ 独立が言えるわけです。一般の分布ではこの因数分解が起きないため、逆は成り立ちません。

もうひとつ重要なのが条件付き分布です。2変量正規では、片方を固定したときのもう片方の分布もまた正規分布になり、公式は $Y\mid X=x\ \sim\ N\!\Big(\mu_Y+\rho\dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x-\mu_X),\ (1-\rho^2)\sigma_Y^2\Big)$ です。条件付き平均が $x$ の1次式（直線）になっている点に注目してください——これがまさに回帰直線の母集団版で、傾き $\rho\,\sigma_Y/\sigma_X$ は単回帰の係数に対応します。条件付き分散 $(1-\rho^2)\sigma_Y^2$ は元の分散 $\sigma_Y^2$ より小さく、$x$ を知ったぶんだけ $Y$ の不確実性が $(1-\rho^2)$ 倍に減ることを表します（$\rho^2$ が決定係数に対応）。さらに、2変量正規の任意の線形結合 $aX+bY$ もまた（1変量の）正規分布になります。具体例として $\mu_X=\mu_Y=0,\ \sigma_X=\sigma_Y=1,\ \rho=0.6$ で $x=2$ を入れると、条件付き平均は $0+0.6\cdot(1/1)\cdot(2-0)=1.2$、条件付き分散は $(1-0.6^2)\cdot1=0.64$ なので $Y\mid X=2\sim N(1.2,0.64)$（標準偏差 $0.8$）です。もし $\rho=0$ なら条件付き分布は $N(0,1)$ となり $x$ にまったく依存せず、独立であることと一致します。

条件付き平均 $=0+0.6\cdot(1/1)\cdot(2-0)=1.2$、条件付き分散 $=(1-0.6^2)\cdot1=0.64$（標準偏差 $0.8$）。

よって $Y\mid X=2\sim N(1.2,0.64)$。もし $\rho=0$ なら $Y\mid X=x\sim N(0,1)$ で $x$ に依存せず＝独立と一致する。