正規分布

確率・用語・連続分布

ひとことで言うと

「平均値の周りにデータが最も多く集まり、平均から離れるほど少なくなる、左右対称の山型の分布」のことです。身長やテストの点数など、自然界や社会で最もよく見られるデータの散らばり方です。

身長・体重テストの点数・偏差値測定誤差製品寸法のばらつき多数の小さな要因の合計

「たくさんの独立した小さな要因が足し合わさって決まる量」は、自然と正規分布に近づきます（＝中心極限定理）。これが正規分布が至るところに現れる理由です。

この曲線は平均 μ・分散 σ² の正規分布の確率密度関数（PDF） $f(x)$ 。横軸は $X$ の値、縦軸は密度（高さは確率ではなく、面積が確率）。全面積は1、頂点が μ、変曲点が μ±σ。

f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\big(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\big)

$N(\mu, \sigma^2)$ と書いて「平均 μ・分散 σ² の正規分布に従う」と読みます。N は Normal の頭文字で、第1引数が平均（中心）、第2引数が分散 σ²（標準偏差 σ の2乗）。 $N(0,1)$ は標準正規分布です。第2引数は分散であって標準偏差ではない点に注意。

では $P(X\le 60)$

再生性（和の分布）

独立な $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ , $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$

① 標準化： $X\sim N(50,10^2)$ のとき $P(X\le 60)$ は、 $Z=(60-50)/10=1$

$X\sim N(20,5^2)$ のとき、 $X=30$ を標準化した $Z$ は？

σ を2倍にすると、釣鐘型の山は？

独立に $X\sim N(2,3^2)$ , $Y\sim N(1,4^2)$ のとき $X+Y$ は？