正規分布

知識マップ

確率・用語

ひとことで言うと

「平均値の周りにデータが最も多く集まり、平均から離れるほど少なくなる、左右対称の山型の分布」のことです。身長やテストの点数など、自然界や社会で最もよく見られるデータの散らばり方です。

こんなデータが従う

身長・体重テストの点数・偏差値測定誤差製品寸法のばらつき多数の小さな要因の合計

「たくさんの独立した小さな要因が足し合わさって決まる量」は、自然と正規分布に近づきます（＝中心極限定理）。これが正規分布が至るところに現れる理由です。

この曲線は平均 μ・分散 σ² の正規分布の確率密度関数（PDF） $f(x)$ 。横軸は $X$ の値、縦軸は密度（高さは確率ではなく、面積が確率）。全面積は1、頂点が μ、変曲点が μ±σ。

数式で表すと

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\big(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\big)$

平均 $\mu$ ・分散 $\sigma^2$ で定まり、標準化 $Z=(X-\mu)/\sigma$ で標準正規 $N(0,1)$ に帰着する。

N(\mu, \sigma^2)

と書いて「平均 μ・分散 σ² の正規分布に従う」と読みます。N は Normal の頭文字で、第1引数が平均（中心）、第2引数が分散 σ²（標準偏差 σ の2乗）。

N(0,1)

は標準正規分布です。第2引数は分散であって標準偏差ではない点に注意。では

P(X\le 60)

のような確率はどう求めるか。これは曲線の下の面積（積分）ですが手計算は大変なので、正規分布表（付表）から読み取ります。ただし μ と σ の組合せは無限にあり、すべてに表は用意できません。そこで、どの正規分布も共通のものさしに揃えるのが標準化です。

Z=(X-\mu)/\sigma

とすると

Z\sim N(0,1)

になり、表1枚であらゆる確率が読めます。

Z

は「平均から標準偏差いくつ分離れているか」を表します。身近な例では偏差値がこれで、テストの点を平均50・標準偏差10に標準化したものです。

試験に出る性質

再生性（和の分布）

独立な $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ , $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ なら $X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\ \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ 。和をとっても正規のまま。

差も正規（分散は足す）

$X-Y\sim N(\mu_1-\mu_2,\ \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ 。平均は引くが分散は足す（頻出のワナ）。

線形変換

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ なら $aX+b\sim N(a\mu+b,\ a^2\sigma^2)$ 。定数倍は分散に $a^2$ がかかる。

対称性

標準正規は0対称。 $P(Z\le -z)=P(Z\ge z)=1-\Phi(z)$ 。

正規近似（CLT）

独立な多数の和は正規に近づく。二項・ポアソンの正規近似の根拠。

68–95–99.7則

μ±σ に約68%、μ±2σ に約95%、μ±3σ に約99.7%。

例で見る

① 標準化： $X\sim N(50,10^2)$ のとき $P(X\le 60)$ は、 $Z=(60-50)/10=1$ 、表より $P(Z\le 1)=0.8413$ 。 ② 再生性：独立に $X\sim N(2,3^2)$ , $Y\sim N(1,4^2)$ のとき $X+Y\sim N(3,\ 9+16)=N(3,25)=N(3,5^2)$ 。

つまずきポイント

分散 σ² と標準偏差 σ の取り違え（標準化で割るのは σ、 $N$ の第2引数は σ²）
差 $X-Y$ の分散を引いてしまう。独立なら分散は必ず足す
密度 $f(x)$ の値を確率と勘違いする。確率は面積
付表が上側・下側どちら向きの表か確認せず使う

定着クイズ

$X\sim N(20,5^2)$ のとき、 $X=30$ を標準化した $Z$ は？

σ を2倍にすると、釣鐘型の山は？

独立に $X\sim N(2,3^2)$ , $Y\sim N(1,4^2)$ のとき $X+Y$ は？

関連：#標準化 #CLT #正規近似 #線形結合 #2変量正規

この用語を扱う問題（7）