中心極限定理（CLT）

統計・定理・標本分布と極限定理

ひとことで言うと

元の分布の形がどのようなものであっても、独立同分布な確率変数の和や平均は、標本数が大きくなるにつれて正規分布に近づくという定理です。

多数の保険契約者の損害額の合計の分布サイコロをたくさん振った合計の分布多くの独立な小さな誤差の積み重なりが正規分布に近づく現象標本平均を使った検定・推定の理論的根拠品質管理での測定誤差の分布近似

正規分布が様々な場面で現れる理論的な理由を説明する、統計学で最も重要な定理の一つです。

\bar X\approx N(\mu,\sigma^2/n)

中心極限定理。独立同分布の和・標本平均は $n$ 大で正規分布に近づく。

中心極限定理は、平均μ・分散σ²をもつ独立同分布な確率変数 $X_1,\dots,X_n$ の標本平均 $\bar X$ が、nが大きくなるにつれて分布 $N(\mu,\sigma^2/n)$

主張

nが大きいと $\bar X\approx N(\mu,\sigma^2/n)$ 。元の分布の形に依存しない。

和の場合

$\sum X_i\approx N(n\mu,n\sigma^2)$

サイコロ（一様分布、各面1/6）をn=30回振った出目の合計は、中心極限定理によりおよそ $N(30\times3.5,\ 30\times2.92)=N(105,\ 87.6)$ に近づく。

中心極限定理が主張する内容は？

中心極限定理により和ΣXiが近づく分布は？

中心極限定理を適用するために必要な前提は？