収束

この $1/\sqrt n$ という速さは、標本平均に固有のものではなく横断的な汎用原理として現れます。とくに重要なのが モンテカルロ法です。乱数を使って積分や期待値を $n$ 回のシミュレーションで近似するとき、その誤差もまた $1/\sqrt n$ で減ります（背後には中心極限定理があり、$n$ 個の独立な試行の平均をとっているから）。だから『シミュレーション回数を増やせば精度が上がる』のは確かですが、上がり方は $1/\sqrt n$ と非常にゆるやかです。

実務的な意味は二乗のコスト＝収益逓減（diminishing returns）です。誤差を半分にしたい（精度を2倍にしたい）とき、$1/\sqrt n$ を半分にするには $\sqrt n$ を2倍、すなわち $n$ を $2^2=4$ 倍にしなければなりません。誤差を $1/10$ にする（10倍精密にする）には $n$ を $10^2=100$ 倍です。つまり精度の向上は標本数の平方根でしか進まず、追加の標本1個あたりの効果はどんどん小さくなります。すでに $n$ が大きいと、もう少し精度を上げるための追加コストが急激に膨らむ——これがシミュレーションや調査の設計で『どこまで $n$ を増やすか』を決める際の基本トレードオフです。なお、もっと速い収束（例えば数値積分の格子法）が使える場面もありますが、次元が高いと逆にモンテカルロの $1/\sqrt n$ の方が有利になる（次元に依存しない）ことも、この原理の重要な含意です。

標準誤差を半分にするには：$1/\sqrt n$ を $1/2$ にするので $\sqrt n$ を2倍＝$n$ を $2^2=4$ 倍にする必要がある。

モンテカルロで誤差を $1/10$（10倍精密）にするには：$n$ を $10^2=100$ 倍にする必要がある（収益逓減の典型）。