標本サイズ

統計・用語

ひとことで言うと

「どれくらいの精度がほしいか」から逆算して、必要な観測数 $n$ を先に決める作業です。信頼区間の幅（許容誤差 $E$ ）を一定以下にしたいなら、ばらつき $\sigma$ と必要な信頼水準から $n$ が決まります。誤差を半分にしたいなら標本は4倍要る、という2乗の関係が肝です。

必要標本数 $n$ と許容誤差 $E$ の反比例カーブ。 $n\ge(z\sigma/E)^2$ で $n$ は $E^2$ に反比例し、精度を上げる（ $E$ を小さくする）ほど必要 $n$ が急増する。 $\sigma=20$ 、 $E=4$ なら必要 $n\approx96$ で切り上げて97。

数式で表すと

$n\ge\big(\tfrac{z\sigma}{E}\big)^2$

必要な観測数 $n$ 。精度や検出力の要求から逆算する。

標本サイズの設計とは、データを取る前に「求める精度を達成するには観測がいくつ必要か」を逆算する作業です。母平均の信頼区間（concept: 区間推定）は

\bar X\pm z\,\sigma/\sqrt{n}

の形で、誤差の半幅（許容誤差）は

E=z\,\sigma/\sqrt{n}

です。この

E

を要求した値以下にしたい、という条件を

n

について解くと

n\ge\Big(\dfrac{z\sigma}{E}\Big)^2

が得られます（

z

は信頼水準に対応する正規分布の点、

\sigma

は母標準偏差、

E

は許してよい誤差の大きさ）。式の形が語るのは、

n

が

\sigma^2

に比例し

E^2

に反比例する、ということです。精度を2倍（

E

を半分）にしたいなら必要

n

は4倍に跳ね上がります。図の反比例カーブがこの急増を示しています。数値で計算します。母標準偏差が

\sigma=20

と分かっており、95%信頼区間（

z=1.96

）で誤差を

E=4

以内に抑えたいとします。公式に入れると

n\ge\Big(\dfrac{1.96\times20}{4}\Big)^2=\Big(\dfrac{39.2}{4}\Big)^2=9.8^2=96.04

です。標本数は整数で、しかも要求精度を割り込んではいけないので、小数は必ず切り上げて

n=97

とします。切り捨てて96にすると、わずかとはいえ誤差が目標の

E=4

を超えてしまうおそれがあるためです。ここで強調したいのが、目的の違う「もう一つの標本サイズ公式」との区別です。仮説検定の検出力を確保するための標本サイズは、concept: 検定設計で扱う

n=\sigma^2(z_\alpha+z_\beta)^2/\delta^2

という別の式で決まります。こちらは『見つけたい差

\delta

を検出力

1-\beta

で検出する』ための数で、目的は仮説検定の検出力です。一方、本ページの

n\ge(z\sigma/E)^2

は『信頼区間の幅

E

を一定以下にする』ための数で、目的は区間推定の精度です。両方とも

n

を逆算する話で見た目が似ていますが、効果量

\delta

や

z_\beta

が出てくるか否かで設計目的がまったく違います。

試験に出る性質

目的

信頼区間の許容誤差 $E$ を要求値以下にする必要観測数 $n$ を、事前に逆算する。

必要標本数の公式

$n\ge(z\sigma/E)^2$ 。 $z$ は信頼水準の点、 $\sigma$ は母標準偏差、 $E$ は許容誤差。

$\sigma^2$比例・$E^2$反比例

ばらつきが大きいほど $n$ 増、精度を上げる（ $E$ 半減）と $n$ は4倍に急増する。

端数は切り上げ

$n$ は整数かつ精度を割らないよう必ず切り上げる。切り下げると誤差が目標を超える。

検定設計との区別

区間推定の精度目標 $n\ge(z\sigma/E)^2$ と、検出力目標 $n=\sigma^2(z_\alpha+z_\beta)^2/\delta^2$ （concept: 検定設計）は別物。

例で見る

$\sigma=20$ 、95%信頼区間（ $z=1.96$ ）で誤差を $E=4$ 以内に抑えたいとき $n\ge(1.96\times20/4)^2=9.8^2=96.04$ 。小数は必ず切り上げて $n=97$ 。切り捨てると誤差が目標の $E=4$ を超えるおそれがある。

つまずきポイント

必要 $n$ を切り下げてしまう（要求精度を割り込む。 $n$ は必ず切り上げる）
区間推定の精度公式と検定の検出力公式を混同する（ $E$ ベースか $\delta,z_\beta$ ベースか。concept: 検定設計とは別物）
$E$ と $n$ を線形だと思う（ $n$ は $E^2$ に反比例。 $E$ を半分にすると $n$ は4倍）

定着クイズ

必要標本数の公式 $n\ge(z\sigma/E)^2$ で $E$ は何か？

$\sigma=20$ 、 $z=1.96$ 、 $E=4$ のときの必要 $n$ は？

許容誤差 $E$ を半分にすると必要 $n$ はどうなる？

関連：#チェビシェフ #区間推定 #検出力 #収束

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