母比率

母集団中の割合 $p$。点推定は標本比率 $\hat p$、分散は $p(1-p)/n$。

ここが最大の落とし穴です。信頼区間を作るときの標準誤差は未知の $p$ の代わりに $\hat p$ を使う（$\mathrm{SE}=\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$）のですが、仮説検定で $H_0:p=p_0$ を検定するとき（母比率検定）は、帰無仮説の値 $p_0$ を使う（$\mathrm{SE}=\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$）のです。この2つは「比率の標準誤差」という同じ顔をしているのに、中に入れる比率が違います。理由は、検定では『$H_0$ が正しいと仮定した世界』でのばらつきを基準にするので $p_0$ を使うのに対し、区間推定では真の値を仮定せず手元の最良推定 $\hat p$ を使うからです。この違いを区別できないのが、母比率まわりの典型的な誤りです。

数値で両方を計算して並べてみます。$\hat p=0.58$、$n=100$ とします。まず信頼区間用のSE（$\hat p$ を使う）は $\mathrm{SE}=\sqrt{0.58\times0.42/100}=\sqrt{0.002436}\approx0.0494$ なので、95%信頼区間は $0.58\pm1.96\times0.0494=0.58\pm0.0968=(0.483,\,0.677)$ です。一方、もし $H_0:p=0.5$ を検定するなら、検定用のSE（$p_0=0.5$ を使う）は $\sqrt{0.5\times0.5/100}=\sqrt{0.0025}=0.05$ で、$0.0494$ とはわずかに違う値になります。値の差は小さくても、どちらの比率を入れるべきかという理屈は明確に違う、という点をしっかり区別してください。なお、正規近似が使えるのは $n\hat p$ と $n(1-\hat p)$ がともに十分大きい（目安5以上）ときで、上の例は $100\times0.58=58$、$100\times0.42=42$ でいずれも十分です。

$\mathrm{SE}=\sqrt{0.58\times0.42/100}=\sqrt{0.002436}\approx0.0494$、95%CIは $0.58\pm1.96\times0.0494=(0.483,\,0.677)$。

一方 $H_0:p=0.5$ の検定用SE（$p_0$ を使う）は $\sqrt{0.5\times0.5/100}=0.05$ とわずかに違う値になる。