二項分布

確率・用語

ひとことで言うと

「成功か失敗かの2択を独立にn回繰り返したときの、成功した回数」を表す離散分布です。コインをn回投げて表が出た回数や、n人にアンケートをとって「はい」と答えた人数などがこれに当たります。

コイン投げでn回中表が出た回数n人の受験者のうちの合格者数（合格率pが共通）n個の製品中の不良品数n件の契約のうち事故が発生した件数n人へのアンケートで「はい」と答えた人数

「結果が成功/失敗の2択になる試行」を独立に同じ条件でn回繰り返せる状況で現れます。1回だけならベルヌーイ分布、それをn回繰り返した合計が二項分布です。

横軸は成功回数 $k$ （0,1,…,n）、縦軸は確率 $P(X=k)$ 。n=10, p=0.3 の例。山の頂点は np の近く。

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\ E[X]=np,\ \mathrm{Var}=np(1-p)$

記法は

B(n,p)

（または

\mathrm{Bin}(n,p)

）で、n が試行回数、p が1回あたりの成功確率です。

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

の意味は、「n回のうちどこでk回成功するか」の並び方が

\binom{n}{k}

通りあり、そのどの並びも確率は

p^k(1-p)^{n-k}

で同じ、という積です。 n=1のときは1回だけの成功/失敗で、これがベルヌーイ分布です。二項分布は独立なベルヌーイをn個足したものと考えられます（後述の再生性の根拠）。 n が大きく p が小さいとき（試行回数が多いが成功は稀）は

np=\lambda

を保ってポアソン分布で近似できます。逆に n が大きければ（p が極端でなければ）正規分布で近似でき、どちらの近似を使うかは状況に応じて選びます。

平均と分散

$E[X]=np,\ \mathrm{Var}[X]=np(1-p)$ 。

ベルヌーイとの関係

n=1の二項分布がベルヌーイ分布。独立なベルヌーイn個の和が $B(n,p)$ 。

再生性（pが共通の場合）

独立な $X\sim B(n_1,p)$ , $Y\sim B(n_2,p)$ （同じp）なら $X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$ 。

ポアソン近似

n大・p小で $np=\lambda$ 一定のとき $Po(\lambda)$ に近づく。

正規近似

n が大きいとき $N(np,\ np(1-p))$ に近づく（連続性補正に注意）。

不良率p=0.1の工程からn=20個を抜き出したとき、不良品がちょうど2個である確率は $P(X=2)=\binom{20}{2}(0.1)^2(0.9)^{18}\approx 0.285$ 。

$X\sim B(10,0.4)$ の平均は？

二項分布で n=1 のときの特別な名前は？

n が大きく p が小さい（npが一定）とき、二項分布は何で近似できる？

この用語を扱う問題（4）