二項分布

確率・用語・離散分布

ひとことで言うと

「成功か失敗かの2択を独立にn回繰り返したときの、成功した回数」を表す離散分布です。コインをn回投げて表が出た回数や、n人にアンケートをとって「はい」と答えた人数などがこれに当たります。

コイン投げでn回中表が出た回数n人の受験者のうちの合格者数（合格率pが共通）n個の製品中の不良品数n件の契約のうち事故が発生した件数n人へのアンケートで「はい」と答えた人数

「結果が成功/失敗の2択になる試行」を独立に同じ条件でn回繰り返せる状況で現れます。1回だけならベルヌーイ分布、それをn回繰り返した合計が二項分布です。

横軸は成功回数 $k$ （0,1,…,n）、縦軸は確率 $P(X=k)$

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\ E[X]=np,\ V[X]=np(1-p)

記法は二項分布 $\mathrm{B}(n,p)$ （または $\mathrm{Bin}(n,p)$ ）で、n が試行回数、p が1回あたりの成功確率です。 $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

平均と分散

$E[X]=np,\ V[X]=np(1-p)$ 。

ベルヌーイとの関係

n=1の二項分布がベルヌーイ分布。独立なベルヌーイn個の和が二項分布 $\mathrm{B}(n,p)$

不良率p=0.1の工程からn=20個を抜き出したとき、不良品がちょうど2個である確率は

$P(X=2)=\binom{20}{2}(0.1)^2(0.9)^{18}\approx 0.285$

$X\sim \mathrm{B}(10,0.4)$ の平均は？

二項分布で n=1 のときの特別な名前は？

n が大きく p が小さい（npが一定）とき、二項分布は何で近似できる？