ポアソン近似

実務での要点は 正規近似との使い分けです。二段構えで覚えると迷いません。第一に、$n$ が大きく $p$ が小さくて $np$ が中程度（おおむね10以下）にとどまる「レアイベント型」なら、ポアソン近似が良く効きます。第二に、$np$ も $n(1-p)$ もともに大きい（両方5以上が目安）「成功も失敗も十分起こる型」なら、正規近似（連続性補正つきの正規分布）が適します。同じ二項分布でも、$p$ が極端に小さいか中庸かで近づける相手が変わるわけです。ポアソン近似の目安はおおむね $n\ge20$ かつ $p\le0.05$ 程度とされます。

数値で精度を確かめます。二項分布 $\mathrm{B}(100,0.03)$（$np=3$）で、ちょうど0件の確率は真値が $(0.97)^{100}\approx0.04755$、ポアソン近似は $e^{-3}\approx0.04979$ で相対誤差は約4.7%です。1件の確率は真値 $100\times0.03\times(0.97)^{99}\approx0.14706$ に対し近似は $3e^{-3}\approx0.14936$ で相対誤差は約1.5%にとどまります。$np$ が小さいほど、また $p$ が小さいほど近似は良くなります。注意として、$p$ が小さくないのにポアソン近似を当てると外れます。たとえば $p=0.4$ のような中庸な確率では $np$ も $n(1-p)$ も大きくなりやすく、正規近似の出番です。レアかどうか（$p$ が十分小さいか）を最初に見極めるのが、近似手法を正しく選ぶ鍵になります。

$P(X=1)$：真値 $100\times0.03\times(0.97)^{99}\approx0.14706$、近似 $3e^{-3}\approx0.14936$（相対誤差約1.5%）。

$np=3$ と中程度、$p=0.03\le0.05$ なのでポアソン近似がよく当てはまる。