多項分布

二項分布の多カテゴリ版。各カテゴリ回数は負に相関する。

なぜ負になるのかは、合計が固定されているという一点から理解できます。$X_1+X_2+\cdots+X_k=n$ が常に成り立つので、全体は定数 $n$、その分散はゼロです。分散の公式に当てはめると $V\Big(\sum_i X_i\Big)=\sum_iV[X_i]+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0$ でなければなりません。各 $V[X_i]\ge0$ なのに総和がゼロになるには、共分散の項が負でそれを打ち消す必要があります。つまり「カテゴリ回数の合計が $n$ で一定だから、あるカテゴリが多く出れば他のカテゴリは少なくなるしかない」という制約が、負の共分散として現れるのです。サイコロで1の目がたくさん出た回は、その分だけ他の目が出る回数が減る、という当たり前の事実の数式表現にほかなりません。

この負の共分散の構造は、適合度検定の土台になっています。観測度数 $(X_1,\dots,X_k)$ が期待度数 $(np_1,\dots,np_k)$ からどれだけずれているかを測るカイ二乗統計量 $\sum_i\dfrac{(X_i-np_i)^2}{np_i}$ は、まさに多項分布に従う度数を前提として組み立てられています。カテゴリ間が独立ではなく負に相関しているからこそ、自由度がカテゴリ数 $k$ ではなく $k-1$（合計が $n$ という制約1本ぶん減る）になる、という適合度検定の重要ポイントも、この多項分布の構造から自然に導かれます。実務では、複数区分への分類データ（請求の重大度別件数、契約状態別人数など）を扱うときの基本モデルとして多項分布を据えます。

分散は $V=(2.5,2.1,1.6)$、共分散は $\mathrm{Cov}(X_1,X_2)=-1.5,\ \mathrm{Cov}(X_1,X_3)=-1.0,\ \mathrm{Cov}(X_2,X_3)=-0.6$。

検算：$X_1+X_2+X_3=10$（定数）なので $V[\sum X_i]=0$ のはず。実際

$\sum V[X_i]+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}=6.2+2\times(-3.1)=6.2-6.2=0$ と一致し、負の共分散の必然性が確認できる。