超幾何分布

確率・用語・離散分布

ひとことで言うと

袋の中の当たりくじを「引いたら戻さない（非復元）」で何本か取り出したときの、当たりの本数の分布です。引くたびに袋の中身が減っていくので、毎回同じ確率で独立に試行する二項分布とは似て非なるものになります。保険でいえば、ある保険集団から重複なく数件を抜き出して該当件数を数える、といった場面に対応します。

こんなデータが従う

20枚中8枚が当たりのくじから戻さずに5枚引いたときの当たり枚数100件の契約のうち事故ありが15件、無作為に10件抜き出したときの事故あり件数出荷ロット50個に不良5個、抜き取り検査で8個調べたときの不良個数カード40枚中エース4枚から5枚配ったときの手札のエース数在庫30個のうち期限切れ6個、戻さず4個取ったときの期限切れ個数

いずれも「有限の母集団から戻さずに（非復元で）何個か抜き取り、当たりの個数を数える」場面です。各回の抽出が独立でない（引くと母集団が減る）点が、独立試行を前提とする二項分布との決定的な違いです。

超幾何分布 $N=20,K=8,n=5$

数式で表すと

P(Y=y)=\dfrac{\binom{K}{y}\binom{N-K}{n-y}}{\binom{N}{n}},\ E[Y]=n\tfrac{K}{N}

超幾何分布は、 $N$ 個のうち $K$ 個が「当たり」である有限の母集団から、戻さずに（非復元で） $n$ 個を抜き取ったときの、当たりの個数 $Y$ が従う分布です。確率質量関数は $P(Y=y)=\dfrac{\binom{K}{y}\binom{N-K}{n-y}}{\binom{N}{n}}$

試験に出る性質

確率質量関数

$P(Y=y)=\dfrac{\binom{K}{y}\binom{N-K}{n-y}}{\binom{N}{n}}$

例で見る

$N=20,K=8,n=5$ （当たり8枚を含む20枚から戻さず5枚）のとき、平均は $E[Y]=5\times\dfrac{8}{20}=2$

つまずきポイント

非復元なのに二項分布を当ててしまう（毎回確率が変わる非復元では超幾何が正しい。母集団が小さいほど誤差が大きい）
分散を $np(1-p)$ のままにして有限母集団修正項 $\dfrac{N-n}{N-1}$

定着クイズ

超幾何分布が二項分布と本質的に違う点は？

$N=20,K=8,n=5$ の超幾何分布の平均 $E[Y]$ は？

超幾何分布の分散が同じ $n,p$ の二項分布より小さいのはなぜ？

この用語を扱う問題（1）

超幾何分布確率・★

←負の二項分布多項分布→