負の二項分布

幾何分布の和

同じ $p$ の独立な幾何分布を $r$ 個足したものと同じ。だから平均・分散がともに $r$ 倍になる。

r=1で幾何分布

$r=1$ を代入すると平均 $1/p$・分散 $(1-p)/p^2$ となり、ちょうど幾何分布に一致する。

r についての再生性

独立な 負の二項分布 $\mathrm{NB}(r_1,p)$ と 負の二項分布 $\mathrm{NB}(r_2,p)$（同じ $p$）の和は 負の二項分布 $\mathrm{NB}(r_1+r_2,p)$ になる。

二項分布との役割の違い

二項分布は『試行回数 $n$ を固定して成功回数を数える』。負の二項は『成功回数 $r$ を固定して試行回数を数える』、いわば二項の裏返し。

過去問では失敗回数版が主流

2020年度(5)は $P(X=k)=\binom{\alpha+k-1}{k}p^\alpha(1-p)^k\ (k=0,1,2,\dots)$、2023年度(2ア)はシュートを外した回数 $V$ について $P(V=v)=\binom{99+v}{v}p^{100}(1-p)^v\ (v=0,1,\dots)$ と、いずれも失敗回数版の形で出題されている。