幾何分布

確率・用語・離散分布

ひとことで言うと

「成功か失敗かの試行を繰り返したとき、初めて成功するまでに何回かかるか」を表す離散分布です。コインの表が初めて出るまでの投げた回数、初めて当たりを引くまでのくじの回数などがこれに当たります。

初めて表が出るまでのコイン投げの回数初めて当たりを引くまでのくじの回数初めて不良品が出るまでに検査した製品数初めて事故が起きるまでの年数初めて成功するまでの営業電話の件数

「成功確率 $p$ が一定のベルヌーイ試行を、初めて成功するまで独立に繰り返す」状況で現れます。指数分布の離散版にあたり、無記憶性をもつ唯一の離散分布です。

横軸は初成功までの試行回数 $k$ （1,2,3,…）、縦軸は確率 $P(X=k)$

P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\ E[X]=1/p,\ V[X]=(1-p)/p^2

acpassでは「初めて成功するまでの試行回数」を $X$ とする版を基本とし、 $X$ は $1,2,3,\dots$ の値を取ります。 $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$

確率関数と平均・分散

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ 、 $E[X]=1/p$

サイコロで初めて6が出るまでの回数（ $p=1/6$ ）。ちょうど3回目で初めて出る確率は

$P(X=3)=(5/6)^2\times(1/6)\approx0.116$

幾何分布（試行回数版）の確率関数 $P(X=k)$ は？

成功確率 $p$ の幾何分布（試行回数版）の平均は？

幾何分布がもち、ポアソン分布や二項分布がもたない性質は？