期待到達時間

ここで効くのが期待値の線形性です。各段の試行回数が独立な幾何分布だとしても、和の期待値は各期待値の単純な和になります（独立でなくても線形性は成立しますが、ここでは各段が前段に合格して初めて進む独立な構成を考えます）。全段をクリアして目標に到達するまでの総ステップ数を $T$ とすると $E[T]=\sum_{k} \dfrac{1}{p_k}$ です。各段で平均 $1/p_k$ 回かかり、それを全段ぶん足すだけ、という直感どおりの式になります。数値例として、3段階のシステムで各段の合格率が $p_1=0.5,\ p_2=0.25,\ p_3=0.2$（各段独立で、前段に合格しないと次へ進めない）だとします。各段の期待挑戦回数は $1/p_1=2$、$1/p_2=4$、$1/p_3=5$ なので、全段クリアまでの期待挑戦回数は $E[T]=2+4+5=11\ \text{回}$ です。図の横棒を積み上げた長さがこの合計に対応します。

ここで同じ「期待到達時間」を扱う ランダムウォークとの違いをはっきりさせます。ランダムウォークのページでは、対称な単純ランダムウォークが2つの吸収壁に挟まれた状況で、位置 $i$ から吸収されるまでの期待時間が $E[T]=i(N-i)$ になることを、隣接状態の期待時間を結ぶ差分方程式を解いて導きました。これは『単一の対称ランダムウォークが壁に当たるまで』という1種類のランダムな動きの設定で、導出も差分方程式が主役です。一方、本ページの $E[T]=\sum 1/p_k$ は『段階ごとに異なる成功確率 $p_k$ をもつ逐次クリア型』で、各段が幾何分布に従い、期待値の線形性で和をとる、というまったく別の設定・別の導出です。両者は「目標に着くまでの平均時間」という言葉こそ共通ですが、前者は対称ランダムウォーク、後者は逐次成功型、と問題の構造が違う点を必ず区別してください。

各段の期待挑戦回数は $1/p_1=2$、$1/p_2=4$、$1/p_3=5$。

全段クリアまでの期待挑戦回数は $E[T]=2+4+5=11$ 回。