差分

隣接時点の差をとる操作 $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}$。トレンドの除去・定常化に使う。

鍵になるのがバックシフト演算子（ラグ演算子）$B$ です。$B$ は系列を1時点だけ過去にずらす演算子で、 $BY_t=Y_{t-1},\qquad B^2Y_t=Y_{t-2},\qquad B^kY_t=Y_{t-k}$ と定義します。これを使うと1階差分は $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}=Y_t-BY_t=(1-B)Y_t$ つまり $\nabla=1-B$ と、演算子の引き算で書けます。ここが強力なところで、$\nabla$ をあたかも $(1-B)$ という多項式のように扱って展開・累乗できるのです。たとえば2階差分は $\nabla$ を2回かけるので $\nabla^2 Y_t=(1-B)^2Y_t=(1-2B+B^2)Y_t=Y_t-2Y_{t-1}+Y_{t-2}$ と、二項展開そのままに係数 $1,-2,1$ が出てきます。同様に季節差分は周期 $s$ だけ過去との差なので $B^s$ を使って $\nabla_s Y_t=(1-B^s)Y_t=Y_t-Y_{t-s}$ と書けます（月次データの年差分なら $s=12$）。$\nabla^2$ と $\nabla_s$ は別物で、前者は『差分を2回』、後者は『1回だけ $s$ 時点離れた差分』である点に注意してください。

演算子の言葉は ARIMA モデルの表現にも直結します。AR 部分は $(1-\phi_1B-\cdots)Y_t$、MA 部分は $(1+\theta_1B+\cdots)\varepsilon_t$、差分は $(1-B)^d$ と、すべて $B$ の多項式の積で書けるため、モデル全体がコンパクトに表せます。具体例で確かめましょう。$Y=(100,103,107,108,112)$ のとき1階差分は $\nabla Y=(103-100,\ 107-103,\ 108-107,\ 112-108)=(3,4,1,4)$ で、トレンドが消えてほぼフラットになります。2階差分は差分の差分なので $\nabla^2 Y=(4-3,\ 1-4,\ 4-1)=(1,-3,3)$ となり、かえって変動が大きくなる——つまり1回差分で十分だったことが見て取れます。バックシフトの確認として $BY_5=Y_4=108$、$(1-B)Y_5=Y_5-Y_4=112-108=4$ となり、定義どおり1階差分の最後の値に一致します。

▶ 定常化について

定常化とは、そのままでは定常でない時系列を、変換を施して定常な系列に変える操作のことです。多くの時系列モデル（AR・MA など）は定常性を前提に作られているため、トレンドや単位根をもつ非定常系列はまず定常化してからモデルに乗せる、という段取りになります。中心的な手段が差分（差分で扱う $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}$）で、隣り合う時点の差をとることで『水準の動き』を取り除き、『変化量』に注目し直します。

ポイントは『何を、何回、どのように』定常化するかという戦略です。第一に差分の回数＝積分次数 $d$ という考え方があります。$d$ 回差分してはじめて定常になる過程を I($d$)（$d$ 次の和分過程）と呼び、これが ARIMA($p,d,q$) モデルの真ん中の文字 $d$ にあたります。たとえばランダムウォーク $Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t$（$\phi=1$ なので非定常）は、1回差分すると $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}=\varepsilon_t$ となり、これは独立同分布のホワイトノイズなので定常です。よってランダムウォークは I(1)（1回差分で定常）。線形トレンドをもつ $Y_t=a+bt+\varepsilon_t$ も、1回差分すると平均が $b$ の定常系列に変わります——『1回の差分が線形トレンドを除去する』という直感を、ここでしっかり押さえてください。たいていの経済・保険データは1回、せいぜい2回の差分で定常になります。

第二に、トレンドが乗法的（時間とともに変動幅も比例して大きくなる）な場合は、差分の前に対数変換を施します。対数をとると比例的な増減が一定幅の増減に変わり、その後の差分が効きやすくなります（対数差分 $\nabla\ln Y_t$ は近似的に成長率を表します）。第三に、季節パターン（毎年同じ月に山がくるなど）には季節差分 $\nabla_s Y_t=Y_t-Y_{t-s}$（$s$ は季節周期、月次なら $s=12$）を使い、1年前との差をとって季節成分を打ち消します（差分で代数的に詳しく扱います）。これらは組み合わせて使え、たとえば『対数 → 季節差分 → 通常差分』という多段の前処理もよくあります。なお差分のしすぎ（過差分）はかえって系列を扱いにくくするので、定常になった時点で止めるのが鉄則です。

2階差分 $\nabla^2 Y=(4-3,\ 1-4,\ 4-1)=(1,-3,3)$（変動がかえって大きく、1回で十分だったと分かる＝過差分）。

バックシフト確認: $BY_5=Y_4=108$、$(1-B)Y_5=Y_5-Y_4=112-108=4$ で1階差分の最後の値に一致。

▶ 定常化：ランダムウォーク $Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t$（$\phi=1$、非定常）を1回差分すると $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}=\varepsilon_t$。

これは iid のホワイトノイズで定常。よってランダムウォークは I(1)（1回差分で定常になる積分次数1の過程）。

線形トレンド $Y_t=a+bt+\varepsilon_t$ では $\nabla Y_t=b+\varepsilon_t$ となり、平均 $b\ne0$ の定常系列。1回の差分でトレンドが除去される。