差分

隣接時点の差をとる操作 $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}$。トレンドの除去・定常化に使う。

鍵になるのがバックシフト演算子（ラグ演算子）$B$ です。$B$ は系列を1時点だけ過去にずらす演算子で、 $BY_t=Y_{t-1},\qquad B^2Y_t=Y_{t-2},\qquad B^kY_t=Y_{t-k}$ と定義します。これを使うと1階差分は $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}=Y_t-BY_t=(1-B)Y_t$ つまり $\nabla=1-B$ と、演算子の引き算で書けます。ここが強力なところで、$\nabla$ をあたかも $(1-B)$ という多項式のように扱って展開・累乗できるのです。たとえば2階差分は $\nabla$ を2回かけるので $\nabla^2 Y_t=(1-B)^2Y_t=(1-2B+B^2)Y_t=Y_t-2Y_{t-1}+Y_{t-2}$ と、二項展開そのままに係数 $1,-2,1$ が出てきます。同様に季節差分は周期 $s$ だけ過去との差なので $B^s$ を使って $\nabla_s Y_t=(1-B^s)Y_t=Y_t-Y_{t-s}$ と書けます（月次データの年差分なら $s=12$）。$\nabla^2$ と $\nabla_s$ は別物で、前者は『差分を2回』、後者は『1回だけ $s$ 時点離れた差分』である点に注意してください。

演算子の言葉は ARIMA モデルの表現にも直結します。AR 部分は $(1-\phi_1B-\cdots)Y_t$、MA 部分は $(1+\theta_1B+\cdots)\varepsilon_t$、差分は $(1-B)^d$ と、すべて $B$ の多項式の積で書けるため、モデル全体がコンパクトに表せます。具体例で確かめましょう。$Y=(100,103,107,108,112)$ のとき1階差分は $\nabla Y=(103-100,\ 107-103,\ 108-107,\ 112-108)=(3,4,1,4)$ で、トレンドが消えてほぼフラットになります。2階差分は差分の差分なので $\nabla^2 Y=(4-3,\ 1-4,\ 4-1)=(1,-3,3)$ となり、かえって変動が大きくなる——つまり1回差分で十分だったことが見て取れます。バックシフトの確認として $BY_5=Y_4=108$、$(1-B)Y_5=Y_5-Y_4=112-108=4$ となり、定義どおり1階差分の最後の値に一致します。

2階差分 $\nabla^2 Y=(4-3,\ 1-4,\ 4-1)=(1,-3,3)$（変動がかえって大きく、1回で十分だったと分かる＝過差分）。

バックシフト確認: $BY_5=Y_4=108$、$(1-B)Y_5=Y_5-Y_4=112-108=4$ で1階差分の最後の値に一致。