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差分

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モデリング・用語

ひとことで言うと

差分は『隣の時点との差をとる』操作 ∇Yt=Yt−Yt−1\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1} ですが、その正体はバックシフト演算子 BB（1時点前を指す BYt=Yt−1BY_t=Y_{t-1}）を使った ∇=1−B\nabla=1-B という代数演算です。多項式のように (1−B)2(1-B)^2 と展開でき、2回差分や季節差分 (1−Bs)(1-B^s) も同じ規則で機械的に書き下せます。

Y=(100,103,107,108,112)への差分演算。1回差分∇Y=(3,4,1,4)（緑）でトレンドが消えほぼ平坦。2回差分∇²Y=(1,-3,3)（赤破線）は変動がかえって大きく過差分を示す。Bはバックシフト演算子でBY_t=Y_t-1∇Y=(3,4,1,4)平坦化, ∇²Y=(1,-3,3)は過差分∇Y（1回差分）∇²Y（過差分）差分値

Y=(100,103,107,108,112)Y=(100,103,107,108,112) への差分。1回差分 ∇Y=(3,4,1,4)\nabla Y=(3,4,1,4)（緑）でトレンドが消えほぼ平坦。2回差分 ∇2Y=(1,−3,3)\nabla^2 Y=(1,-3,3)（赤）は変動がかえって大きく、1回で十分（過差分）と分かる。

数式で表すと

∇Yt=Yt−Yt−1\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}

隣接時点の差をとる操作 ∇Yt=Yt−Yt−1\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}。トレンドの除去・定常化に使う。

差分とは、隣り合う時点の差をとる操作で、1階差分は ∇Yt=Yt−Yt−1\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1} と定義します。直感的には『水準』を捨てて『変化量』を見る操作で、トレンドの除去・定常化に使われます（概念: 定常化で扱う戦略の中核）。ここでは差分を代数的な演算として整理し、計算を機械化する道具立てを身につけます。 鍵になるのがバックシフト演算子（ラグ演算子）BB です。BB は系列を1時点だけ過去にずらす演算子で、BYt=Yt−1BY_t=Y_{t-1}、B2Yt=Yt−2B^2Y_t=Y_{t-2}、BkYt=Yt−kB^kY_t=Y_{t-k} と定義します。これを使うと1階差分は ∇Yt=Yt−Yt−1=Yt−BYt=(1−B)Yt\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}=Y_t-BY_t=(1-B)Y_t つまり ∇=1−B\nabla=1-B と演算子の引き算で書けます。∇\nabla をあたかも (1−B)(1-B) という多項式のように扱って展開・累乗できるのが強力なところです。たとえば2階差分は ∇\nabla を2回かけるので ∇2Yt=(1−B)2Yt=(1−2B+B2)Yt=Yt−2Yt−1+Yt−2\nabla^2 Y_t=(1-B)^2Y_t=(1-2B+B^2)Y_t=Y_t-2Y_{t-1}+Y_{t-2} と、二項展開の係数 1,−2,11,-2,1 がそのまま出てきます。季節差分は周期 ss だけ過去との差なので ∇sYt=(1−Bs)Yt=Yt−Yt−s\nabla_s Y_t=(1-B^s)Y_t=Y_t-Y_{t-s} と書けます（月次データの年差分なら s=12s=12）。∇2\nabla^2 と ∇s\nabla_s は別物で、前者は『差分を2回』、後者は『1回だけ ss 離れた差分』である点に注意してください。 演算子の言葉は ARIMA モデルの表現にも直結します。AR・MA・差分すべて BB の多項式の積で書けるため、モデル全体がコンパクトに表せます。具体例：Y=(100,103,107,108,112)Y=(100,103,107,108,112) のとき1階差分は (3,4,1,4)(3,4,1,4) でトレンドが消えほぼ平坦。2階差分は (1,−3,3)(1,-3,3) で変動がかえって大きくなる——1回差分で十分だったこと（過差分）が見て取れます。

試験に出る性質

1階差分の定義

∇Yt=Yt−Yt−1\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}。水準を捨て変化量を見る。トレンド除去・定常化の基本操作。

バックシフト演算子

BYt=Yt−1BY_t=Y_{t-1}、BkYt=Yt−kB^kY_t=Y_{t-k}。∇=1−B\nabla=1-B と演算子で書け、多項式のように扱える。

2階差分

∇2Yt=(1−B)2Yt=Yt−2Yt−1+Yt−2\nabla^2Y_t=(1-B)^2Y_t=Y_t-2Y_{t-1}+Y_{t-2}。二項展開で係数 1,−2,11,-2,1。

季節差分

∇sYt=(1−Bs)Yt=Yt−Yt−s\nabla_s Y_t=(1-B^s)Y_t=Y_t-Y_{t-s}。周期 ss だけ前との差。∇2\nabla^2 とは別物。

ARIMA表現に直結

AR・MA・差分すべて BB の多項式の積で書ける。(1−B)d(1-B)^d などコンパクトに表現できる。

例で見る

Y=(100,103,107,108,112)Y=(100,103,107,108,112)。1階差分 ∇Y=(3,4,1,4)\nabla Y=(3,4,1,4)（トレンドが消えほぼ平坦）。 2階差分 ∇2Y=(4−3, 1−4, 4−1)=(1,−3,3)\nabla^2 Y=(4-3,\ 1-4,\ 4-1)=(1,-3,3)（変動がかえって大きく過差分）。 バックシフト確認: (1−B)Y5=Y5−Y4=112−108=4(1-B)Y_5=Y_5-Y_4=112-108=4 で1階差分の最後の値に一致。

つまずきポイント

  • 2階差分 ∇2\nabla^2 と季節差分 ∇s\nabla_s を混同する（∇2=(1−B)2\nabla^2=(1-B)^2 は差分を2回、∇s=1−Bs\nabla_s=1-B^s は1回だけ ss 時点離れた差）
  • ∇2Yt\nabla^2Y_t の係数を間違える（(1−B)2=1−2B+B2(1-B)^2=1-2B+B^2 で Yt−2Yt−1+Yt−2Y_t-2Y_{t-1}+Y_{t-2}。Yt−Yt−2Y_t-Y_{t-2} ではない）
  • 差分でデータ点が減ることを忘れる（nn 点を1階差分すると n−1n-1 点、2階差分で n−2n-2 点になる）

定着クイズ

バックシフト演算子 BB を使った1階差分の表現は？

2階差分 ∇2Yt=(1−B)2Yt\nabla^2Y_t=(1-B)^2Y_t を展開すると？

Y=(100,103,107,108,112)Y=(100,103,107,108,112) の1階差分は？

関連：#定常化#時系列

この用語を扱う問題（1）