時系列

時間順に並んだ確率過程。定常性・自己相関で構造を捉え、AR/MA でモデル化する。

自己共分散はそのままだと値のスケール（単位の2乗）に依存して大きさを比較しにくいので、$\gamma_0$ で割って正規化したものが自己相関関数 $\rho_k$ です。 $\rho_k=\dfrac{\gamma_k}{\gamma_0}$ これは相関係数と同じく必ず $-1\le\rho_k\le1$ に収まり、$\rho_0=1$ から始まります。自己共分散が『絶対的な連動の大きさ』を、自己相関が『$-1$〜$1$ に揃えた相対的な連動の強さ』を表す、という役割分担です。$\rho_k$ をラグごとに並べた図がコレログラム（自己相関で扱うACF）で、時系列の記憶のパターンが一目で読み取れます。

この $\gamma_k,\rho_k$ の減り方を見ると、AR と MA という2大モデルの『記憶の長さ』の違いがくっきり現れます。AR（自己回帰）は無限の記憶をもち、$\rho_k$ は $0$ に向かって指数的に減衰しますが完全には $0$ になりません（AR(1) なら $\rho_k=\phi^k$ で永遠に尾を引く）。一方MA（移動平均）は有限の記憶しかもたず、MA($q$) では $\rho_k$ がラグ $q$ を超えるとぴたりと $0$ に打ち切られます（MA(1) ならラグ2以降は $0$）。つまり『尾を引けば AR、急に切れれば MA』で、自己相関の形がモデル選択の手がかりになるのです。具体例として AR(1) で $\phi=0.8,\sigma^2=1$ とすると、$\gamma_0=V=1/(1-0.64)\approx2.778$、$\gamma_1=\phi\gamma_0\approx2.222$、$\gamma_2=\phi^2\gamma_0\approx1.778$ と減り、$\rho_1=0.8,\ \rho_2=0.64=\phi^2$ となって公式 $\rho_k=\phi^k$ を満たします。自己共分散は $2.778$ という絶対スケールの値ですが、自己相関は $-1$〜$1$ に正規化されている、という対比がよく分かります。

$\gamma_1=\phi\gamma_0=0.8\times2.778\approx2.222$、$\gamma_2=\phi^2\gamma_0=0.64\times2.778\approx1.778$。

$\rho_1=\gamma_1/\gamma_0=0.8$、$\rho_2=0.64=\phi^2$ で公式 $\rho_k=\phi^k$ を満たす。自己共分散は絶対スケール、自己相関は $-1$〜$1$ に正規化されている。