自己相関

PACF とは、ラグ $k$ の自己相関から『途中のラグ $1,\dots,k-1$ を通じた間接的な相関』を取り除いた、$Y_t$ と $Y_{t-k}$ の直接の結びつきだけを測ったものです。たとえば AR(1) では $Y_t$ と $Y_{t-2}$ は $Y_{t-1}$ を経由して相関しますが、$Y_{t-1}$ を固定して間接経路を消すと直接の相関は $0$ になります。だから AR(1) の PACF はラグ1だけが大きく、ラグ2以降は $0$ にぴたりと切れます。一般にAR($p$) は ACF が指数（または減衰振動）で尾を引き、PACF がラグ $p$ で打ち切りになります。MA($q$) はちょうど立場が逆で、ACF がラグ $q$ で打ち切り、PACF が指数で尾を引きます。表にすると『AR：ACF減衰／PACF打ち切り、MA：ACF打ち切り／PACF減衰』で、打ち切りが起きるラグの位置がそのまま次数を教えてくれます。

この識別法を数値で確かめましょう。AR(1) で $\phi=0.7$ の ACF は $\rho_k=0.7^k$ なので、$k=1$ で $0.7$、$k=2$ で $0.49$、$k=3$ で $0.343$ と、$0$ に向かってずっと尾を引きます（決して $0$ にならない＝指数減衰）。一方 MA(1) で $\theta=0.7$ の ACF は、$\gamma_0=(1+\theta^2)\sigma^2=(1+0.49)\sigma^2=1.49\sigma^2$、$\gamma_1=\theta\sigma^2=0.7\sigma^2$ なので $\rho_1=0.7/1.49\approx0.470$、そして $\rho_k=0\ (k\ge2)$ とラグ2でぴたり $0$ に切れます。両者を並べると、『ACF が急に $0$ に切れたら MA、いつまでも尾を引けば AR』という実用的な見分け方が一目で分かります。実データではノイズで完全に $0$ にはならないので、信頼区間（おおよそ $\pm2/\sqrt{n}$ の帯）を超えるかどうかで『有意なラグ』を判定し、$p,q$ を推定します。ACF と PACF の両方を必ずセットで見るのが鉄則です。

MA(1) $\theta=0.7$: $\gamma_0=(1+0.49)\sigma^2=1.49\sigma^2,\ \gamma_1=0.7\sigma^2$ より $\rho_1=0.7/1.49\approx0.470$、$\rho_k=0\ (k\ge2)$。

→ ACF が急に $0$ に切れたら MA、いつまでも尾を引けば AR、と識別できる。