自己相関

モデリング・用語

ひとことで言うと

自己相関 $\rho_k$ はラグ $k$ 離れた値どうしの相関ですが、モデル識別では ACF（自己相関）と PACF（偏自己相関）の2枚組で見ます。AR は ACF が指数減衰・PACF がラグ $p$ で打ち切り、MA は逆に ACF がラグ $q$ で打ち切り・PACF が指数減衰。この『減衰か打ち切りか』のパターンで次数 $p,q$ を読み取るのが実用スキルです。

AR(1) $\phi=0.7$ の ACF（緑）は $\rho_k=0.7^k$ で指数減衰し尾を引く。MA(1) $\theta=0.7$ の ACF（赤）は $\rho_1\approx0.470$ でラグ2以降ぴたり $0$ 。『急に切れたらMA・尾を引けばAR』。

数式で表すと

$\rho_k=\gamma_k/\gamma_0$

同一系列のラグ $k$ での相関 $\rho_k$ 。AR は指数減衰、MA(1) はラグ2で0。

自己相関

\rho_k=\gamma_k/\gamma_0

は、同じ系列のラグ

k

離れた2値の相関でした。これを実務で使うとき主役になるのが、

\rho_k

をラグごとに並べた ACF（自己相関関数）と PACF（偏自己相関関数）という2つの道具です。両者を読み比べて AR か MA か、そして次数

p,q

がいくつかを当てる——これがモデル識別の中心スキルです。 PACF とは、ラグ

k

の自己相関から『途中のラグ

1,\dots,k-1

を通じた間接的な相関』を取り除いた、

Y_t

と

Y_{t-k}

の直接の結びつきだけを測ったものです。たとえば AR(1) では

Y_t

と

Y_{t-2}

は

Y_{t-1}

を経由して相関しますが、

Y_{t-1}

を固定して間接経路を消すと直接の相関は

0

になります。だから AR(1) の PACF はラグ1だけが大きく、ラグ2以降は

0

にぴたりと切れます。一般に AR(

p

) は ACF が指数（または減衰振動）で尾を引き、PACF がラグ

p

で打ち切りになります。MA(

q

) はちょうど立場が逆で、ACF がラグ

q

で打ち切り、PACF が指数で尾を引きます。つまり『AR：ACF減衰／PACF打ち切り、MA：ACF打ち切り／PACF減衰』で、打ち切りが起きるラグの位置がそのまま次数を教えてくれます。数値例で確かめます。AR(1) で

\phi=0.7

の ACF は

\rho_k=0.7^k

なので

k=1

で

0.7

、

k=2

で

0.49

、

k=3

で

0.343

と指数減衰し尾を引きます。MA(1) で

\theta=0.7

の ACF は、

\gamma_0=(1+\theta^2)\sigma^2=1.49\sigma^2

、

\gamma_1=\theta\sigma^2=0.7\sigma^2

なので

\rho_1=0.7/1.49\approx0.470

、そして

\rho_k=0\ (k\ge2)

とラグ2でぴたり

0

に切れます。『ACF が急に

0

に切れたら MA、いつまでも尾を引けば AR』という識別法が一目で分かります。実データではノイズで完全に

0

にはならないので、

\pm2/\sqrt{n}

の信頼帯を超えるかどうかで有意なラグを判定し、

p,q

を推定します。

試験に出る性質

ACFとPACFの2枚組

ACF は $\rho_k$ をラグごとに並べたもの、PACF は間接経路を除いた $Y_t,Y_{t-k}$ の直接相関。両方をセットで読む。

AR($p$)のパターン

ACF は指数で尾を引く、PACF はラグ $p$ で打ち切り。打ち切り位置が次数 $p$ 。

MA($q$)のパターン

ACF はラグ $q$ で打ち切り、PACF は指数で尾を引く。ARとちょうど立場が逆。

識別の合言葉

『急に $0$ に切れたら MA・いつまでも尾を引けば AR』。打ち切りが起きるラグがそのまま次数を示す。

有意性の判定

実データは $\pm2/\sqrt{n}$ の信頼帯を超えるラグを『有意』とみて $p,q$ を推定。

例で見る

AR(1) $\phi=0.7$ : ACF は $\rho_k=0.7^k$ （ $0.7,0.49,0.343$ …指数減衰、尾を引く）。 MA(1) $\theta=0.7$ : $\rho_1=0.7/1.49\approx0.470$ 、 $\rho_k=0\ (k\ge2)$ （ラグ2でぴたり0に切れる）。 ACF が急に切れたらMA、尾を引けばARと識別できる。

つまずきポイント

ACFだけ見てモデルを決める（AR/MAの識別は ACF と PACF の両方が必須）
ARとMAのACF/PACFパターンを逆に覚える（AR：ACF減衰・PACF打ち切り／MA：ACF打ち切り・PACF減衰）
実データのACFが完全に $0$ になると期待する（ノイズで揺れる。 $\pm2/\sqrt{n}$ の信頼帯を超えるかで判定）

定着クイズ

AR( $p$ ) のACF・PACFのパターンは？

MA(1) $\theta=0.7$ の $\rho_1$ と $\rho_2$ は？

ACFが『急に0に切れた』ら？