予測

AR(1)の $k$ 期先予測は $\phi^k$ 倍に減衰。予測誤差分散は徐々に増える。

次に予測の不確実性です。$k$ 期先の予測誤差 $Y_{t+k}-\hat Y_{t+k}$ は途中で入ってくるショック $\varepsilon_{t+1},\dots,\varepsilon_{t+k}$ の重み付き和になり、その分散は $V[\text{予測誤差}]=\sigma^2\dfrac{1-\phi^{2k}}{1-\phi^2}$ です。$k=1$ では $\sigma^2$（1期先は1個のショックぶん）ですが、$k$ が増えるにつれて単調に増え、$\phi^{2k}\to0$ なので $k\to\infty$ で $\dfrac{\sigma^2}{1-\phi^2}=\gamma_0=V[Y_t]$ つまり無条件分散に収束します。直感的には、遠い未来の値については現在値の手がかりがほぼ効かなくなり、予測の不確実性が『何も知らないときの分散（無条件分散）』にまで膨らむ、ということです。点予測は平均 $\mu$ へ、予測誤差分散は無条件分散 $\gamma_0$ へ——どちらも『無条件の世界』に向かって収束するのが対になっています。

具体例で確かめます。$\phi=0.8,\ \mu=0,\ \sigma^2=0.36$ とすると無条件分散は $\gamma_0=0.36/(1-0.64)=0.36/0.36=1$。現在 $Y_t=2$ として点予測は、$k=1$ で $0.8\times2=1.6$、$k=2$ で $0.64\times2=1.28$、$k=5$ で $0.8^5\times2=0.32768\times2\approx0.655$、$k\to\infty$ で $0$（平均回帰）。予測誤差分散は $\sigma_k^2=0.36\times(1-0.64^k)/0.36=1-0.64^k$ なので、$k=1$ で $0.36$、$k=2$ で $1-0.4096=0.5904$、$k=5$ で $1-0.64^5=1-0.1074\approx0.8926$、$k\to\infty$ で $1=\gamma_0$。点予測は $2\to0$ へ縮みつつ、予測誤差分散は $0.36\to1$ へ広がる——『将来が遠くなるほど予測は平均に近づき、しかし不確実性は無条件分散に向かって増大する』という二重の収束がはっきり見て取れます。

点予測: $k{=}1{:}0.8\times2=1.6$、$k{=}2{:}0.64\times2=1.28$、$k{=}5{:}0.8^5\times2\approx0.655$、$k\to\infty{:}0$（平均回帰）。

予測誤差分散: $\sigma_k^2=1-0.64^k$ → $k{=}1{:}0.36$、$k{=}2{:}0.5904$、$k{=}5{:}0.8926$、$k\to\infty{:}1=\gamma_0$。