予測

モデリング・公式

ひとことで言うと

AR(1)の予測は『平均回帰』が本質です。 $k$ 期先の点予測は $\hat Y_{t+k}=\phi^k(Y_t-\mu)+\mu$ で、 $\phi^k$ が $0$ に向かうため遠い将来ほど無条件平均 $\mu$ に吸い寄せられます。同時に予測誤差の分散は増えていき、最終的に無条件分散 $\gamma_0$ に収束する——遠い未来ほど『平均に近いが不確実』になるのです。

AR(1) $\phi=0.8,\mu=0,\sigma^2=0.36$ 、現在 $Y_t=2$ の予測。点予測 $\hat Y_{t+k}=\phi^k Y_t=1.6,1.28,\dots$ は平均 $0$ へ回帰（緑線）。予測誤差の帯（薄緑）は $\pm0.6\to\pm1$ と無条件分散 $\gamma_0=1$ へ広がる。

数式で表すと

$\hat Y_{t+k}=\phi^k Y_t,\ \mathrm{Var}=\sigma^2\tfrac{1-\phi^{2k}}{1-\phi^2}$

AR(1)の $k$ 期先予測は $\phi^k$ 倍に減衰。予測誤差分散は徐々に増える。

AR(1) モデル

Y_t-\mu=\phi(Y_{t-1}-\mu)+\varepsilon_t

（

|\phi|<1

で定常、

\varepsilon_t

は分散

\sigma^2

のホワイトノイズ）に基づく将来予測を考えます。最小平均二乗誤差の意味で最適な点予測は条件付き期待値で、AR(1) では

\hat Y_{t+k\mid t}=\phi^k(Y_t-\mu)+\mu

となります（

\mu=0

なら

\hat Y_{t+k}=\phi^k Y_t

）。漸化式を繰り返し代入すれば導けます：

\hat Y_{t+1}=\mu+\phi(Y_t-\mu)

、

\hat Y_{t+2}=\mu+\phi^2(Y_t-\mu)

、…と

\phi

が1回ずつ掛かっていくためです。

|\phi|<1

なので

\phi^k\to0

、したがって

k\to\infty

で点予測は無条件平均

\mu

に収束します。これが『平均回帰』——遠い将来ほど予測は現在値の情報を忘れ、長期平均に吸い寄せられるという AR(1) 予測の本質です。次に予測の不確実性です。

k

期先の予測誤差分散は

\mathrm{Var}(\text{予測誤差})=\sigma^2\dfrac{1-\phi^{2k}}{1-\phi^2}

です。

k=1

では

\sigma^2

ですが、

k

が増えるにつれて単調に増え、

k\to\infty

で

\sigma^2/(1-\phi^2)=\gamma_0

つまり無条件分散に収束します。直感的には、遠い未来の値については現在値の手がかりがほぼ効かなくなり、予測の不確実性が『何も知らないときの分散（無条件分散）』にまで膨らむということです。点予測は平均

\mu

へ、予測誤差分散は無条件分散

\gamma_0

へ——どちらも『無条件の世界』に向かって収束するのが対になっています。具体例：

\phi=0.8,\mu=0,\sigma^2=0.36

→

\gamma_0=0.36/(1-0.64)=1

。現在

Y_t=2

。点予測:

k=1

で

1.6

、

k=2

で

1.28

、

k=5

で

\approx0.655

、

k\to\infty

で

0

（平均回帰）。予測誤差分散:

\sigma_k^2=1-0.64^k

→

k=1

で

0.36

、

k=2

で

0.5904

、

k\to\infty

で

1=\gamma_0

。

試験に出る性質

k期先の点予測

$\hat Y_{t+k\mid t}=\phi^k(Y_t-\mu)+\mu$ （ $\mu=0$ なら $\phi^k Y_t$ ）。漸化式の繰り返し代入で $\phi$ が $k$ 回掛かる。

平均回帰

$|\phi|<1$ より $\phi^k\to0$ 。 $k\to\infty$ で点予測は無条件平均 $\mu$ に収束。遠い将来ほど現在値を忘れる。

予測誤差分散

$\sigma^2(1-\phi^{2k})/(1-\phi^2)$ 。 $k=1$ では $\sigma^2$ 、 $k$ とともに単調増加。

無条件分散へ収束

$k\to\infty$ で $\sigma^2/(1-\phi^2)=\gamma_0$ 。不確実性が無条件分散に収束する。

二重の収束

点予測は平均 $\mu$ へ、予測誤差分散は $\gamma_0$ へ。遠い未来は『平均に近いが最も不確実』。

例で見る

$\phi=0.8,\mu=0,\sigma^2=0.36$ → $\gamma_0=1$ 。現在 $Y_t=2$ 。点予測: $k=1{:}1.6$ 、 $k=2{:}1.28$ 、 $k\to\infty{:}0$ （平均回帰）。予測誤差分散: $k=1{:}0.36$ 、 $k=2{:}0.5904$ 、 $k\to\infty{:}1=\gamma_0$ 。

つまずきポイント

点予測が現在値 $Y_t$ をいつまでも保つと思う（ $\phi^k\to0$ で無条件平均 $\mu$ に回帰。長期予測は現在値の情報を忘れる）
予測誤差分散が無限に発散すると思う（定常 AR では $\gamma_0$ に収束する。発散するのは単位根 $\phi=1$ の非定常な場合）
1期先分散 $\sigma^2$ をk期先でも使う（k期先は $\sigma^2(1-\phi^{2k})/(1-\phi^2)$ で $k$ とともに増える）

定着クイズ

AR(1) $\mu=0$ の $k$ 期先点予測は？

$\phi=0.8,\mu=0,Y_t=2$ のとき $k=2$ 期先の点予測は？

AR(1) で $k\to\infty$ のとき予測誤差分散は？