自己回帰モデル（AR）

定常条件

$|\phi|<1$。

平均

$\mu=c/(1-\phi)$。

分散

$\gamma_0=\sigma^2/(1-\phi^2)$。

自己相関

$\rho_k=\phi^k$（k期離れた値との相関。φが1に近いほど減衰が遅い）。

AR(p)への一般化と定常条件

AR(p)モデル $Y_t=\phi_0+\phi_1Y_{t-1}+\cdots+\phi_pY_{t-p}+\varepsilon_t$ が定常であるための必要十分条件は、特性方程式 $\varphi(x)=1-\phi_1x-\cdots-\phi_px^p=0$ の解の絶対値がすべて1より大きいこと。AR(1)の $|\phi|<1$ はこの特殊ケース（$p=1$）。

ユール・ウォーカー方程式（自己相関の連立方程式）

AR(p)の自己相関は $\rho_k=\phi_1\rho_{k-1}+\cdots+\phi_p\rho_{k-p}$（$k\ge1$、$\rho_0=1$、$\rho_{-j}=\rho_j$）を満たす（ユール・ウォーカー方程式）。AR(2)なら $\rho_1=\phi_1/(1-\phi_2)$、$\rho_2=\phi_1\rho_1+\phi_2$ から順に計算できる。

標本自己相関からのパラメータ推定

AR(1)モデルはモーメント法で $\hat\phi_1=\hat\rho_1$（標本自己相関そのもの）、$\hat\phi_0=\bar y(1-\hat\phi_1)$（$\mu=\phi_0/(1-\phi_1)$ の逆算）と推定できる。H29・2024年度で連続して出題された頻出パターン。