移動平均モデル（MA）

移動平均モデル。MA(1) は $Y_t=\varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1}$。ラグ2以降の自己相関は0。

MA(1) の自己共分散・自己相関を計算してみます。分散（ラグ0の自己共分散）は $\gamma_0=V[Y_t]=(1+\theta^2)\sigma^2$ （独立な2項の分散の和 $\sigma^2+\theta^2\sigma^2$）。ラグ1の自己共分散は $\gamma_1=\mathrm{Cov}(Y_t,Y_{t-1})$ で、共通して含むのは $\varepsilon_{t-1}$ の項だけなので $\gamma_1=\theta\sigma^2$。よって自己相関は $\rho_1=\dfrac{\gamma_1}{\gamma_0}=\dfrac{\theta}{1+\theta^2},\qquad \rho_{k}=0\ (k\ge2)$ となります。ラグ2以降は $Y_t$ と $Y_{t-k}$ が共通のショックを1つも含まないため、自己相関がきっかり0になるのです。これが MA の「有限の記憶」の正体です。

この自己相関の形の違いは、実務での AR/MA 判別の手がかりになります。データの自己相関（ACF）を描いたとき、あるラグから先がぱたりと0に切れていれば MA、いつまでも指数的に尾を引いていれば AR、という見分け方です（より厳密には MA は ACF が打ち切られ、AR は偏自己相関 PACF が打ち切られる）。一般化すると MA($q$) モデルは $Y_t=\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$ で、過去 $q$ 期のショックを含むため自己相関はラグ $q$ まで非ゼロ、$q+1$ 以降が0になります。MA はショックの重み付き和なので $|\theta|$ の値によらず常に定常である点も AR との違いです。

1期離れた値とは中程度に相関するが、2期以上離れると無相関になる。