定常化

非定常系列を差分などで定常にする操作。トレンド除去に差分を用いる。

ポイントは『何を、何回、どのように』定常化するかという戦略です。第一に差分の回数＝積分次数 $d$ という考え方があります。$d$ 回差分してはじめて定常になる過程を I($d$)（$d$ 次の和分過程）と呼び、これが ARIMA($p,d,q$) モデルの真ん中の文字 $d$ にあたります。たとえばランダムウォーク $Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t$（$\phi=1$ なので非定常）は、1回差分すると $\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}=\varepsilon_t$ となり、これは独立同分布のホワイトノイズなので定常です。よってランダムウォークは I(1)（1回差分で定常）。線形トレンドをもつ $Y_t=a+bt+\varepsilon_t$ も、1回差分すると平均が $b$ の定常系列に変わります——『1回の差分が線形トレンドを除去する』という直感を、ここでしっかり押さえてください。たいていの経済・保険データは1回、せいぜい2回の差分で定常になります。

第二に、トレンドが乗法的（時間とともに変動幅も比例して大きくなる）な場合は、差分の前に対数変換を施します。対数をとると比例的な増減が一定幅の増減に変わり、その後の差分が効きやすくなります（対数差分 $\nabla\ln Y_t$ は近似的に成長率を表します）。第三に、季節パターン（毎年同じ月に山がくるなど）には季節差分 $\nabla_s Y_t=Y_t-Y_{t-s}$（$s$ は季節周期、月次なら $s=12$）を使い、1年前との差をとって季節成分を打ち消します（差分で代数的に詳しく扱います）。これらは組み合わせて使え、たとえば『対数 → 季節差分 → 通常差分』という多段の前処理もよくあります。なお差分のしすぎ（過差分）はかえって系列を扱いにくくするので、定常になった時点で止めるのが鉄則です。

これは iid のホワイトノイズで定常。よってランダムウォークは I(1)（1回差分で定常になる積分次数1の過程）。

線形トレンド $Y_t=a+bt+\varepsilon_t$ では $\nabla Y_t=b+\varepsilon_t$ となり、平均 $b\ne0$ の定常系列。1回の差分でトレンドが除去される。