ベルヌーイ

確率・用語・離散分布

ひとことで言うと

「成功か失敗か、1か0か」の1回きりの試行を表す、最も単純な確率変数です。コインを1回投げて表が出れば1・裏なら0、といった"1試行ぶん"の成功/失敗を数値で表します。

コインを1回投げて表が出るか1人の契約者がその年に事故を起こすか1個の製品が不良かどうか1回のくじが当たりかはずれか1問のテストに正解するか

「結果が成功/失敗の2通りしかない1回の試行」はすべてベルヌーイ分布です。これを独立に n 回繰り返して成功回数を数えたものが二項分布になります（ベルヌーイは二項分布の n=1 の場合）。

横軸は値 $k$ （成功=1 / 失敗=0）、縦軸は確率 $P(X=k)$ 。値1が確率 $p$ 、値0が確率 $1-p$ の2本だけ。p が大きいほど右の棒が高くなる。

E[X]=p,\ V[X]=p(1-p)

成功=1・失敗=0 の最小の確率変数。二項分布の1試行。

記法は成功確率 $p$ をパラメータにとり、確率変数 $X$ が1（成功）か0（失敗）のどちらかの値だけを取ります。 $P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p$

平均と分散

$E[X]=p,\ V[X]=p(1-p)$ 。平均が成功確率そのものになる。

分散が最大になる点

$p(1-p)$

成功確率 $p=0.3$ のベルヌーイ試行の平均と分散は

$E[X]=0.3$ 、 $V[X]=0.3\times0.7=0.21$

ベルヌーイ分布 $X$ （成功確率 $p$ ）の分散は？

ベルヌーイ分布の分散 $p(1-p)$ が最大になる $p$ は？

ベルヌーイ分布を独立にn個足し合わせると何分布になる？