標準化

まず一般性です。平均と分散が有限なら、$X$ がどんな分布でも $Z=(X-\mu)/\sigma$ は必ず $E[Z]=0,\ V[Z]=1$ になります。これは平均・分散の線形変換の性質（$E[aX+b]=aE[X]+b$、$V[aX+b]=a^2V[X]$）から出る代数的な事実で、分布の種類によりません。ただし注意すべきは『$Z$ が標準正規になる』のは元の $X$ が正規のときだけという点です。標準化は平均と散らばりを揃えるだけで、分布の形（歪みや裾の重さ）は変えません。だから指数分布を標準化しても右に歪んだままで、$N(0,1)$ にはなりません。『標準化＝正規分布表が使える』ではなく、表が使えるのは元が（近似的に）正規のときに限る、と切り分けることが大切です。

次に、本概念で最も実務的に効くのが標本統計量の標準化です。生の観測値1個を標準化するときの分母は $\sigma$ ですが、標本平均 $\bar X$ のような統計量を標準化するときは、分母をその統計量自身の標準偏差＝標準誤差 $\sigma/\sqrt n$ にしなければなりません： $Z=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}$ です（標本平均 C052 の標準誤差）。生の $X$ の標準化の分母 $\sigma$ とは別物で、$\sqrt n$ のぶんだけ分母が小さくなります。これは『平均をとると散らばりが縮む』ことの直接の反映です。具体的に、$\mu=50,\sigma=10$ の母集団で、生の観測値 $x=65$（平均から15ずれ）を標準化すると $z=(65-50)/10=1.5$。一方 $n=25$ の標本平均 $\bar x=53$（平均からわずか3ずれ）を標準化すると、分母は $SE=10/\sqrt{25}=2$ なので $z=(53-50)/2=1.5$ と同じ z 値になります。生では15ずれて初めて『1.5個ぶん異常』なのに、標本平均では3ずれただけで同じ異常度——平均をとると散らばりが縮むため、小さなずれが相対的に大きな意味をもつのです。この『統計量を標準誤差で割って標準化し、表で確率を読む』という型こそ、区間推定や仮説検定で繰り返し使われる汎用パターンの基礎になります。

$n=25$ の標本平均 $\bar x=53$ を標準化：分母は $SE=\sigma/\sqrt{25}=10/5=2$ なので $z=(53-50)/2=1.5$。

生が15ずれた場合と標本平均がわずか3ずれた場合が、標準化後は同じ $z=1.5$（＝平均をとると散らばりが縮む実感）。