パーセント点

統計・用語

ひとことで言うと

パーセント点（上側 $\alpha$ 点）は、『この値より右の確率がちょうど $\alpha$ になる』という分布上の境目です。検定や区間推定で『棄却するかどうかの閾値』として使います。最大の注意点は、片側検定では $\alpha$ 点、両側検定では $\alpha/2$ 点を使う、という使い分け。ここを混同するミスが頻出します。

標準正規の上側5%点 $u(0.05)=1.645$ ：これより右の面積（赤）がちょうど $\alpha=0.05$ 。片側検定ではこの上側 $\alpha$ 点を、両側検定では片側 $\alpha/2$ 点（上側2.5%点 $1.96$ ）を使う。

数式で表すと

$P(Z>u(\alpha))=\alpha$

分布の上側/下側 $\alpha$ 点。正規の上側5%点は $1.645$ 、2.5%点は $1.96$ 。

パーセント点（上側

\alpha

点）とは、分布上で『その点より右側（上側）の確率がちょうど

\alpha

になる』ような値のことです。標準正規分布なら

u(\alpha)

と書き、

P(Z>u(\alpha))=\alpha

で定義されます。たとえば上側5%点は

u(0.05)=1.645

（この右の面積が0.05）、上側2.5%点は

u(0.025)=1.96

です。これは『確率→値』という向きの量で、分布関数の逆（分位点）に当たります。検定や区間推定で、棄却域の境目や信頼区間の端を決める閾値として絶え間なく使われる、極めて基礎的な概念です。最も試験で混同されるのが片側と両側の使い分けです。有意水準

\alpha

を同じ5%に設定しても、片側検定と両側検定では使うパーセント点が違います。片側検定（例：母平均が基準より大きいか、と一方向だけ疑う）では、棄却域を右の裾だけに

\alpha

ぶん置くので、境目は上側

\alpha

点

u(0.05)=1.645

です。一方、両側検定（母平均が基準と異なるか、と両方向を疑う）では、

\alpha

を左右の裾に

\alpha/2

ずつ振り分けるので、各裾の境目は上側

\alpha/2

点

u(0.025)=1.96

になります。同じ5%でも片側は1.645、両側は1.96——この取り違えが、検定の結論を誤らせる頻出ミスです。なお両側95%信頼区間の端

\pm1.96

も、両側で合計5%（片側2.5%ずつ）を切る同じ理屈です。さらに重要なのは、パーセント点が正規分布だけのものではないという一般性です。任意の分布にパーセント点があり、

t

分布・

\chi^2

分布・

F

分布のように自由度に依存する分布では、パーセント点も自由度ごとに値が変わります。たとえば自由度15の

t

分布の上側2.5%点は

t_{0.025,15}=2.131

（正規の1.96より少し大きい）。自由度

(1,15)

の

F

分布の上側5%点は

F_{0.05,1,15}\approx4.541

で、これはちょうど

t_{0.025,15}^2=2.131^2\approx4.541

と一致します（

F(1,m)

が

t(m)

の2乗になる関係）。実務では『片側か両側か』『どの分布・どの自由度か』の2点を確認してから表を引くのが鉄則です。

試験に出る性質

定義

上側 $\alpha$ 点は $P(Z>u(\alpha))=\alpha$ を満たす値。『その点より右の確率が $\alpha$ 』という分布関数の逆（分位点）。

代表値

標準正規で $u(0.05)=1.645$ （上側5%点）、 $u(0.025)=1.96$ （上側2.5%点）。検定・区間推定の閾値として頻出。

片側と両側で違う

有意水準 $\alpha$ が同じでも、片側検定は上側 $\alpha$ 点、両側検定は上側 $\alpha/2$ 点を使う。5%なら片側1.645・両側1.96。

信頼区間の端

両側95%信頼区間の $\pm1.96$ は、両側で合計5%（片側2.5%ずつ）を切る上側2.5%点。 $\alpha/2$ の考え方は同じ。

自由度に依存する

$t,\chi^2,F$ では自由度ごとにパーセント点が変わる。例： $t_{0.025,15}=2.131$ 、 $F_{0.05,1,15}\approx4.541=2.131^2$ 。

例で見る

標準正規：上側5%点 $u(0.05)=1.645$ （片側95%の閾値）、上側2.5%点 $u(0.025)=1.96$ （両側95%信頼区間の片側の端）。自由度に依存する例： $t_{0.025,15}=2.131$ （自由度15の $t$ 分布の上側2.5%点、正規の1.96より外側）。 $F_{0.05,1,15}\approx4.541=t_{0.025,15}^2=2.131^2$ 。

つまずきポイント

片側と両側で同じパーセント点を使う（同じ5%でも片側は上側 $\alpha$ 点1.645、両側は上側 $\alpha/2$ 点1.96。取り違えると結論が変わる）
パーセント点を正規分布だけのものと思う（ $t,\chi^2,F$ など分布ごと・自由度ごとに値が変わる。表を引く前に分布と自由度を確認）
上側 $\alpha$ 点と下側 $\alpha$ 点を混同する（『右の面積が $\alpha$ 』が上側。左右どちらの裾の閾値かを必ず確認）

定着クイズ

標準正規の上側 $\alpha$ 点 $u(\alpha)$ の定義は？

有意水準5%の両側検定で使う標準正規のパーセント点は？

自由度 $(1,15)$ の $F$ 分布の上側5%点 $F_{0.05,1,15}$ と一致するのは？