チェビシェフ

統計・定理・標本分布と極限定理

先に確認：分散

ひとことで言うと

「どんな分布であっても、平均から大きく外れる確率はそれほど大きくない」と保証してくれる不等式です。分布の形が分からなくても、平均と分散さえ分かれば『外れ確率の上限』が言える、汎用性の高い道具です。

平均 $\mu$ から $\pm k\sigma$ より外側（両端の塗り）に出る確率を表す。チェビシェフの不等式は、この確率が分布によらず $1/k^2$ 以下に抑えられることを保証する。

P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le 1/k^2

任意分布で平均からのはずれを抑える不等式。必要標本数の保証に使える。

チェビシェフの不等式は、平均 $\mu$ ・標準偏差 $\sigma$ をもつ任意の分布について $P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\dfrac{1}{k^2}$

不等式

$P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le 1/k^2$ （ $k>0$

ある分布の平均 $\mu=50$ 、標準偏差 $\sigma=5$ 。値が $40$ 未満または $60$ 超（＝平均から $2\sigma=10$

チェビシェフの不等式の式は？

チェビシェフの不等式が使える分布は？

$k=2$ のときチェビシェフが与える上限と、正規分布での実際の確率の関係は？