チェビシェフ

知識マップ

統計・定理

ひとことで言うと

「どんな分布であっても、平均から大きく外れる確率はそれほど大きくない」と保証してくれる不等式です。分布の形が分からなくても、平均と分散さえ分かれば『外れ確率の上限』が言える、汎用性の高い道具です。

平均 $\mu$ から $\pm k\sigma$ より外側（両端の塗り）に出る確率を表す。チェビシェフの不等式は、この確率が分布によらず $1/k^2$ 以下に抑えられることを保証する。

数式で表すと

$P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le 1/k^2$

任意分布で平均からのはずれを抑える不等式。必要標本数の保証に使える。

チェビシェフの不等式は、平均

\mu

・標準偏差

\sigma

をもつ任意の分布について

P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\dfrac{1}{k^2}

が成り立つ、と述べます（

k>0

）。「平均から

k

標準偏差ぶん以上はずれる確率は、

1/k^2

より大きくはならない」という意味です。最大の特徴は、分布の形を一切仮定しないこと。正規でもなんでも、平均と分散が有限でありさえすれば必ず使えます。汎用性の代償として、この上限はかなり緩い（実際の確率よりずっと大きい上限を与えることが多い）という点に注意が必要です。例えば

k=2

のとき、チェビシェフは「平均から

2\sigma

以上はずれる確率は

1/2^2=0.25

以下」としか言いません。ところが、もし分布が正規分布だと分かっていれば、実際に

2\sigma

以上はずれる確率は約4.6%（=

100\%-95.4\%

、68–95–99.7則）に過ぎません。25%という上限は、実態の約4.6%と比べてかなり緩い保証なのです。

k=3

でもチェビシェフの上限は

1/9\approx11\%

ですが、正規分布の実際の裾は約0.3%です。それでも価値があるのは、分布が分からない状況で『最悪でもこのくらい』という安全側の保証が得られるからです。例えば大数の法則の証明や、「平均から

\varepsilon

以内に収めるには標本がいくつ必要か」という必要標本数の見積もりに使えます（分布によらず保証できるので安心して使える）。緩いぶん、必要標本数を多めに（安全側に）見積もることになります。

試験に出る性質

不等式

$P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le 1/k^2$ （ $k>0$ ）。平均から $k\sigma$ 以上はずれる確率の上限。

分布によらない

形を一切仮定せず、平均と分散が有限ならどんな分布にも使える汎用の不等式。

上限が緩い

汎用な代わりに上限は甘い。 $k=2$ で上限25%（正規の実際は約4.6%）、 $k=3$ で上限約11%（正規は約0.3%）。

大数の法則の道具

$\bar X$ に当てはめると $P(|\bar X-\mu|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ 。弱法則の証明の核。

必要標本数の保証

『平均から $\varepsilon$ 以内に高確率で収めるのに必要な $n$ 』を、分布によらず安全側に見積もれる。

例で見る

ある分布の平均 $\mu=50$ 、標準偏差 $\sigma=5$ 。値が $40$ 未満または $60$ 超（＝平均から $2\sigma=10$ 以上はずれる）になる確率は、 $k=2$ なので $P(|X-50|\ge10)\le\dfrac{1}{2^2}=0.25$ 。分布の形に関わらず25%以下と言える（正規分布なら実際は約4.6%とずっと小さい）。

つまずきポイント

上限を実際の確率そのものだと思い込む（チェビシェフは“以下”を与えるだけで、実態はもっと小さいことが多い）
はずれ幅を $k$ （標準偏差の本数）ではなく絶対値で代入する（ $k=$ はずれ幅 $/\sigma$ に直してから $1/k^2$ ）
$k\le1$ で使って意味のある上限のつもりになる（ $k=1$ なら上限は $1/1^2=1$ で『100%以下』という当たり前の主張にしかならない）

定着クイズ

チェビシェフの不等式の式は？

チェビシェフの不等式が使える分布は？

$k=2$ のときチェビシェフが与える上限と、正規分布での実際の確率の関係は？

関連：#大数の法則 #標本サイズ

この用語を扱う問題（2）