大数の法則

弱法則はチェビシェフの不等式から簡単に示せます。まず分散の性質から $V[\bar X_n]=\sigma^2/n$。チェビシェフの不等式を $\bar X_n$ に当てはめると、任意の $\varepsilon>0$ について $P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\dfrac{V[\bar X_n]}{\varepsilon^2}=\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ となり、平均から $\varepsilon$ 以上ずれる確率が0に潰れていく、つまり確率収束が言えます。図の帯が $1/\sqrt{n}$ で狭まるのは、標準偏差 $\sqrt{V[\bar X_n]}=\sigma/\sqrt{n}$ がこの速さで縮むためです。

混同しやすいのが中心極限定理（CLT）との違いです。大数の法則は「$\bar X_n$ が $\mu$ に収束する（どこへ落ち着くか）」を述べ、中心極限定理は「収束する途中の $\bar X_n$ のばらつきが、規格化すると正規分布の形になる（どんな形・速さで散らばるか）」を述べます。LLNは行き先、中心極限定理はそこへ近づく際の散らばり方、と役割が分かれています。

$n$ をさらに増やせばこの散らばりは0へ向かい、$\bar X$ は母平均 $\mu$ に収束する。