acpass

検定設計

知識マップ

統計・用語

ひとことで言うと

検定を「やってみる」前に、要求する有意水準 α\alpha と検出力 1−β1-\beta を満たすには標本がいくつ必要かを逆算しておく設計の作業です。効果量（見つけたい差の大きさ）とばらつき σ\sigma から、必要な標本数 nn が決まります。

必要標本数nと効果量δの関係を示す反比例カーブ。n=σ²(z_α+z_β)²/δ²でnはδ²に反比例し、効果量が小さいほど必要nが急増する。δ=5のとき必要nは約99で、これは検出力80%設計に対応する必要標本数nは効果量δの2乗に反比例（δ小→n急増）δ=5n≈99必要n効果量 δ

必要標本数 nn と効果量 δ\delta の関係を示す反比例カーブ。n=σ2(zα+zβ)2/δ2n=\sigma^2(z_\alpha+z_\beta)^2/\delta^2 で nn は δ2\delta^2 に反比例し、効果量が小さいほど必要 nn が急増する。δ=5\delta=5 のとき必要 n≈99n\approx99 で、これは検出力80%の設計に対応する。

数式で表すと

n を α, 1−β, 効果量から決定n\ \text{を}\ \alpha,\,1-\beta,\,\text{効果量から決定}

要求する有意水準 α\alpha と検出力 1−β1-\beta を満たすように棄却域や必要標本サイズを設計すること。効果量と nn から所要検出力を逆算する。

検定設計とは、データを取る前に「要求する有意水準 α\alpha と検出力 1−β1-\beta を同時に満たすには、棄却域をどこに置き、標本サイズ nn をいくつにすればよいか」を決める作業です。concept: 検出力・concept: 第2種の過誤で見たように、α\alpha を固定したまま β\beta も小さく（検出力を高く）したいなら、2つの分布の重なりを減らすために nn を増やすしかありません。では具体的にいくつ必要か。片側検定で母分散 σ2\sigma^2 が既知、効果量（見つけたい平均差）を δ=μ1−μ0\delta=\mu_1-\mu_0 とすると、必要標本数は n=σ2(zα+zβ)2δ2n=\dfrac{\sigma^2(z_\alpha+z_\beta)^2}{\delta^2} で逆算できます（zαz_\alpha は有意水準 α\alpha の臨界値、zβz_\beta は検出力 1−β1-\beta に対応する点）。両側検定なら zαz_\alpha を zα/2z_{\alpha/2} に置き換えます。 この式は形だけで2つの大事な性質を語っています。nn は σ2\sigma^2 に比例し、δ2\delta^2 に反比例します。つまりばらつきが大きいほど多くの標本が要り、見つけたい差 δ\delta が小さいほど必要 nn が急激に（2乗で）増えます。図の反比例カーブが、δ\delta を半分にすると nn が4倍に跳ね上がる様子を示しています。 concept: 第2種の過誤と同じ数値で検算してみます。α=0.05\alpha=0.05（片側、zα=1.645z_\alpha=1.645）、目標検出力80%（β=0.20\beta=0.20、zβ=0.84z_\beta=0.84）、σ=20\sigma=20、効果量 δ=5\delta=5 とすると n=202×(1.645+0.84)252=400×2.485225=400×6.17525=98.8n=\dfrac{20^2\times(1.645+0.84)^2}{5^2}=\dfrac{400\times2.485^2}{25}=\dfrac{400\times6.175}{25}=98.8 です。標本数は整数で、しかも目標検出力を割り込んではいけないので、必ず切り上げて n=99n=99（実務上はきりよく n=100n=100 程度）とします。これは concept: 第2種の過誤の例で「n=100n=100 のとき実際の検出力が約80.4%」だったことときれいに整合します。必要 n=98.8n=98.8 を切り上げて n=100n=100 にしたぶん、目標の80%をほんのわずか上回るわけです。逆に言えば、もし切り捨てて n=98n=98 にしてしまうと、目標の80%をわずかに下回ってしまいます。だから検定設計では端数は常に切り上げる、というのが鉄則になります。

試験に出る性質

目的

要求する α\alpha と検出力 1−β1-\beta を満たすよう、棄却域や必要標本数 nn を事前に設計する。

必要標本数の公式

片側で n=σ2(zα+zβ)2δ2n=\dfrac{\sigma^2(z_\alpha+z_\beta)^2}{\delta^2}（δ\delta＝効果量）。両側は zα→zα/2z_\alpha\to z_{\alpha/2}。

$\sigma^2$ に比例・$\delta^2$ に反比例

ばらつきが大きいほど nn 増、効果量 δ\delta が小さいほど nn は2乗で急増する。

端数は切り上げ

nn は整数かつ目標検出力を割らないよう、計算値を必ず切り上げる。切り下げると検出力不足。

例の整合

α=0.05, 1−β=0.8, σ=20, δ=5\alpha=0.05,\ 1-\beta=0.8,\ \sigma=20,\ \delta=5 で n=98.8→99n=98.8\to99。concept: 第2種の過誤の n=100n=100 で検出力80.4%と整合。

例で見る

α=0.05\alpha=0.05（片側 zα=1.645z_\alpha=1.645）、目標検出力80%（zβ=0.84z_\beta=0.84）、σ=20\sigma=20、効果量 δ=5\delta=5 のとき n=202×(1.645+0.84)252=400×6.17525=98.8n=\dfrac{20^2\times(1.645+0.84)^2}{5^2}=\dfrac{400\times6.175}{25}=98.8。 切り上げて n=99n=99（実務上は n=100n=100 程度）。concept: 第2種の過誤の例（n=100n=100 で検出力約80.4%）と整合する。

つまずきポイント

  • 必要 nn を切り下げてしまう（目標検出力を下回る。nn は必ず切り上げる）
  • 両側検定なのに zαz_\alpha を使う（両側では zα/2z_{\alpha/2} が正しい。片側のままだと水準がずれる）
  • 必要 nn が大きいことを「設計が悪い」と捉える（効果量が小さい・ばらつきが大きいことの正しい反映で、むしろ正常に機能している）

定着クイズ

片側検定で必要標本数 nn を求める公式は？

α=0.05\alpha=0.05（zα=1.645z_\alpha=1.645）、検出力80%（zβ=0.84z_\beta=0.84）、σ=20\sigma=20、δ=5\delta=5 のときの必要 nn は？

必要 nn が大きく出たときの正しい受け止め方は？

関連：#検出力#標本サイズ#第2種の過誤

この用語を扱う問題（1）

検定設計とは｜定義・公式とアクチュアリー試験の関連問題 | acpass