検定設計

この式は形だけで2つの大事な性質を語っています。$n$ は $\sigma^2$ に比例し、$\delta^2$ に反比例します。つまりばらつきが大きいほど多くの標本が要り、見つけたい差 $\delta$ が小さいほど必要 $n$ が急激に（2乗で）増えます。図の反比例カーブが、$\delta$ を半分にすると $n$ が4倍に跳ね上がる様子を示しています。

第2種の過誤と同じ数値で検算してみます。$\alpha=0.05$（片側、$z_\alpha=1.645$）、目標検出力80%（$\beta=0.20$、$z_\beta=0.84$）、$\sigma=20$、効果量 $\delta=5$ とすると $n=\dfrac{20^2\times(1.645+0.84)^2}{5^2}=\dfrac{400\times2.485^2}{25}=\dfrac{400\times6.175}{25}=98.8$ です。標本数は整数で、しかも目標検出力を割り込んではいけないので、必ず切り上げて $n=99$（実務上はきりよく $n=100$ 程度）とします。これは 第2種の過誤の例で「$n=100$ のとき実際の検出力が約80.4%」だったことときれいに整合します。必要 $n=98.8$ を切り上げて $n=100$ にしたぶん、目標の80%をほんのわずか上回るわけです。逆に言えば、もし切り捨てて $n=98$ にしてしまうと、目標の80%をわずかに下回ってしまいます。だから検定設計では端数は常に切り上げる、というのが鉄則になります。

$n=\dfrac{20^2\times(1.645+0.84)^2}{5^2}=\dfrac{400\times6.175}{25}=98.8$。

切り上げて $n=99$（実務上は $n=100$ 程度）。第2種の過誤の例（$n=100$ で検出力約80.4%）と整合する。