第2種の過誤

計算例を、next 検定設計と完全に同じ数値で進めます。$H_0:\mu=0$ 対 $H_1:\mu=5$（対立側を具体的に $\mu=5$ と置く）、母標準偏差 $\sigma=20$、標本サイズ $n=100$ とすると、標本平均の標準誤差は $\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt n=20/10=2$ です。有意水準 $\alpha=0.05$ の片側検定（$z_{0.05}=1.645$）では、棄却点は $c=0+1.645\times2=3.29$ です（$\bar X>3.29$ で棄却）。第2種の過誤 $\beta$ は「$H_1$ が真（$\mu=5$）なのに棄却しない＝$\bar X<c$ になる」確率なので、$H_1$ のもとで $\bar X\sim N(5,2^2)$ として $\beta=P(\bar X<3.29\mid\mu=5)=\Phi\!\Big(\dfrac{3.29-5}{2}\Big)=\Phi(-0.855)\approx0.196$ と求まります。したがって検出力は $1-\beta\approx0.804$、約80%です。

この計算から $\beta$ の性質が見えてきます。$\beta$ は $H_1$ のどの値を仮定するかで変わります。真の差が小さい（$\mu$ が0に近い）なら2つの分布が大きく重なり $\beta$ は大きく（見逃しやすく）なります。また $\alpha$ と $\beta$ はトレードオフします。棄却点 $c$ を右にずらして $\alpha$ を小さくすると $\beta$ は増えます。両方を同時に小さくするには標本サイズ $n$ を増やすしかなく、これが 検定設計の出発点になります。

$\beta=P(\bar X<3.29\mid\mu=5)=\Phi\!\big((3.29-5)/2\big)=\Phi(-0.855)\approx0.196$。

よって検出力 $1-\beta\approx0.804$（約80%）。