acpass

第2種の過誤

知識マップ

統計・用語

ひとことで言うと

「対立仮説が本当は正しいのに、帰無仮説を棄却しそびれてしまう」見逃しの誤りです。その確率を β\beta と書き、検出力は 1−β1-\beta。第1種の過誤 α\alpha（無実なのに棄却する誤り）とはトレードオフの関係にあります。

帰無仮説H0（中心0）と対立仮説H1（中心5）の標本平均の分布を重ね、棄却点cで分けた図。H0曲線のc右側の面積が第1種の過誤α、H1曲線のc左側の面積が第2種の過誤β。βはH1の具体的な値のもとで計算し、検出力は1−β棄却点cで分割：H0側右の面積がα、H1側左の面積がβH₀:μ=0H₁:μ=5c=3.29βαX̄

帰無仮説 H0H_0（中心0）と対立仮説 H1H_1（中心5）の標本平均の分布を重ね、棄却点 cc で分けた図。H0H_0 曲線の cc より右の面積が第1種の過誤 α\alpha、H1H_1 曲線の cc より左の面積が第2種の過誤 β\beta。β\beta は H1H_1 の具体的な値のもとで計算し、検出力は 1−β1-\beta。

数式で表すと

β=P(採択∣H1), power=1−β\beta=P(\text{採択}\mid H_1),\ \text{power}=1-\beta

対立仮説が真なのに帰無仮説を棄却しない誤り。その確率を β\beta とし、検出力は 1−β1-\beta。第1種の過誤 α\alpha とはトレードオフの関係。

第2種の過誤とは、対立仮説 H1H_1 が真であるのに帰無仮説 H0H_0 を棄却しない（見逃す）誤りで、その確率を β\beta と書きます。concept: 検出力で見たとおり検出力は 1−β1-\beta と定義されますが、そこでは β\beta は概念として登場するにとどまりました。ここでは具体的に β\beta を計算するところまで踏み込みます。まず2つの誤りを表で整理しておきます。検定の結論（棄却する／しない）と真実（H0H_0 が真／H1H_1 が真）の組み合わせは4通りで、H0H_0 が真なのに棄却するのが第1種の過誤（確率 α\alpha）、H1H_1 が真なのに棄却しないのが第2種の過誤（確率 β\beta）です。α\alpha は H0H_0 のもとで、β\beta は H1H_1 のもとで測る、という測る土俵の違いが核心です。 計算例を、次の concept: 検定設計と完全に同じ数値で進めます。H0:μ=0H_0:\mu=0 対 H1:μ=5H_1:\mu=5（対立側を具体的に μ=5\mu=5 と置く）、母標準偏差 σ=20\sigma=20、標本サイズ n=100n=100 とすると、標本平均の標準誤差は SE=σ/n=20/10=2\mathrm{SE}=\sigma/\sqrt n=20/10=2 です。有意水準 α=0.05\alpha=0.05 の片側検定（z0.05=1.645z_{0.05}=1.645）では、棄却点は c=0+1.645×2=3.29c=0+1.645\times2=3.29 です（Xˉ>3.29\bar X>3.29 で棄却）。第2種の過誤 β\beta は「H1H_1 が真（μ=5\mu=5）なのに棄却しない＝Xˉ<c\bar X<c になる」確率なので、H1H_1 のもとで Xˉ∼N(5,22)\bar X\sim N(5,2^2) として β=P(Xˉ<3.29∣μ=5)=Φ ⁣(3.29−52)=Φ(−0.855)≈0.196\beta=P(\bar X<3.29\mid\mu=5)=\Phi\!\Big(\dfrac{3.29-5}{2}\Big)=\Phi(-0.855)\approx0.196 と求まります（Φ\Phi は標準正規の累積分布関数）。したがって検出力は 1−β≈1−0.196=0.8041-\beta\approx1-0.196=0.804、つまり約80%です。図では、H1H_1 曲線の cc より左の塗りつぶしが β\beta、H0H_0 曲線の cc より右が α\alpha に対応します。 この計算から β\beta の性質が見えてきます。第一に、β\beta は H1H_1 のどの値を仮定するかで変わります。上では μ=5\mu=5 を仮定して β≈0.196\beta\approx0.196 でしたが、もし真の差がもっと小さい（μ\mu が0に近い）なら2つの分布が大きく重なり β\beta は大きく（見逃しやすく）なります。α\alpha が検定の設計で固定される一方、β\beta は対立仮説の値ごとに違う、という非対称性が重要です。第二に、α\alpha と β\beta はトレードオフします。棄却点 cc を右にずらして α\alpha を小さくすると、H1H_1 曲線の左側にかかる面積 β\beta は増えてしまいます。両方を同時に小さくするには標本サイズ nn を増やして2分布の重なり自体を減らすしかなく、これが concept: 検定設計の出発点になります。

試験に出る性質

定義

H1H_1 が真なのに H0H_0 を棄却しない誤り。確率 β=P(採択∣H1)\beta=P(\text{採択}\mid H_1)、検出力は 1−β1-\beta。

2種の過誤の表

H0H_0 真で棄却＝第1種（α\alpha）、H1H_1 真で棄却せず＝第2種（β\beta）。α\alpha は H0H_0 側、β\beta は H1H_1 側で測る。

$\beta$ の計算

棄却点 cc を求め、H1H_1 の分布のもとで Xˉ<c\bar X<c となる確率を計算する。例では β=Φ(−0.855)≈0.196\beta=\Phi(-0.855)\approx0.196。

$\beta$ は対立値依存

α\alpha は固定だが β\beta は H1H_1 のどの値を仮定するかで変わる。真の差が小さいほど β\beta は大きい。

$\alpha$ とのトレードオフ

cc を動かすと α↓\alpha\downarrow で β↑\beta\uparrow。両方下げるには nn を増やすしかない（concept: 検定設計）。

例で見る

H0:μ=0H_0:\mu=0 対 H1:μ=5H_1:\mu=5、σ=20\sigma=20、n=100n=100（SE=2\mathrm{SE}=2）、片側 α=0.05\alpha=0.05（z=1.645z=1.645）。棄却点は c=1.645×2=3.29c=1.645\times2=3.29。 β=P(Xˉ<3.29∣μ=5)=Φ ⁣((3.29−5)/2)=Φ(−0.855)≈0.196\beta=P(\bar X<3.29\mid\mu=5)=\Phi\!\big((3.29-5)/2\big)=\Phi(-0.855)\approx0.196。 よって検出力 1−β≈0.8041-\beta\approx0.804（約80%）。

つまずきポイント

  • β\beta を H0H_0 のもとで計算してしまう（β\beta は H1H_1 の具体的な値のもとで Xˉ<c\bar X<c となる確率。土俵は H1H_1 側）
  • β\beta を検定固有の1つの値だと思い込む（α\alpha は固定だが β\beta は対立仮説のどの値を仮定するかで変わる）
  • 「第1種の過誤の方が常に重大」と一般化する（どちらが重いかは文脈依存。見逃しが致命的な場面もある）

定着クイズ

第2種の過誤 β\beta はどの仮説のもとで計算するか？

H0:μ=0H_0:\mu=0 対 H1:μ=5H_1:\mu=5、σ=20\sigma=20、n=100n=100、片側 α=0.05\alpha=0.05（棄却点 c=3.29c=3.29）のときの β\beta は？（Φ(−0.855)≈0.196\Phi(-0.855)\approx0.196）

α\alpha と β\beta の関係として正しいのは？

関連：#検出力#仮説検定#検定設計

この用語を扱う問題（1）

第2種の過誤とは｜定義・公式とアクチュアリー試験の関連問題 | acpass