尤度比

対立と帰無の尤度の比 $L(\theta_1)/L(\theta_0)$。値が大きいほど $H_1$ を支持し、棄却域の構成に使う。多くの分布で十分統計量の単調関数になる。

複合仮説（例：$H_0:\theta=\theta_0$ 対 $H_1:\theta\ne\theta_0$）では対立側の尤度を1点で書けません。そこで使うのが一般化尤度比検定（GLRT）です。未知パラメータを最尤推定（MLE）で置き換え、 $\Lambda=\dfrac{L(\hat\theta_0)}{L(\hat\theta)}$ とします。$\hat\theta_0$ は $H_0$ の制約のもとでの最尤推定値、$\hat\theta$ は制約なしの最尤推定値です。$H_0$ が正しければ制約してもしなくても当てはまりは大きく変わらず $\Lambda$ は1に近く、$H_0$ が誤りなら制約付きの当てはまりが悪化して $\Lambda$ が小さくなります。

ウィルクスの定理により、$H_0$ のもとで $n$ が大きいとき $-2\ln\Lambda\ \xrightarrow{\ d\ }\ \chi^2(\mathrm{df})$ が成り立ちます（χ²分布・独立性検定（分割表）と関連）。自由度 $\mathrm{df}$ は制約なしモデルの自由パラメータ数から $H_0$ のもとでの自由パラメータ数を引いたもの（制約の本数）です。たとえば既知分散の正規平均検定 $H_0:\mu=\mu_0$ 対 $H_1:\mu\ne\mu_0$ では、$-2\ln\Lambda$ がちょうど $Z^2$ に等しくなり、自由度1の $\chi^2$ 分布に従います。

$-2\ln\Lambda=\Big(\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\Big)^2=Z^2$。

これは自由度1の $\chi^2$ 分布に従い（$Z^2\sim\chi^2(1)$）、$3.84$ を超えれば有意水準5%で棄却する。