ネイマン・ピアソン

単純帰無 $H_0:\theta=\theta_0$ 対 単純対立 $H_1:\theta=\theta_1$ では、尤度比を閾値で棄却する検定が、与えられた有意水準のもとで検出力を最大にする（最強力）。

抽象的なので具体的に導いてみます。$X\sim N(\theta,1)$ の観測が $n=1$ 個あり、$H_0:\theta=0$ 対 $H_1:\theta=1$ とします。尤度は正規密度そのものなので、尤度比は $\Lambda(x)=\dfrac{f(x;1)}{f(x;0)}=\dfrac{\exp(-(x-1)^2/2)}{\exp(-x^2/2)}=\exp(x-0.5)$ となります。これは $x$ の増加関数です。したがって $\Lambda(x)>k$ という棄却条件は、両辺の対数をとれば $x>c$ という単純な条件と同値になります。つまりネイマン・ピアソン検定は、この場合「観測した $x$ が大きいときに棄却する」という見慣れた片側のz検定にそのまま帰着するのです。閾値 $c$ は、$H_0$ のもとで $P(X>c)=\alpha$ となるように決めます。

この補題が効くのは「単純対単純」に限られます。実務では対立仮説が範囲をもつ複合仮説のことが多く、その場合「対立側の尤度 $L(\theta_1)$」の $\theta_1$ が1つに定まりません。複合の場合にどう一般化するかは 最強力検定（UMPの存在条件）や 尤度比（一般化尤度比検定）で扱います。

▶ 最強力検定について

最強力検定（most powerful test）とは、要求する有意水準 $\alpha$ を満たす検定の中で、対立仮説のもとでの検出力が最大のものをいいます。単純対単純（帰無も対立も1点）であれば、ネイマン・ピアソンの補題が「尤度比検定が最強力だ」と即答してくれます。問題は、対立仮説が $H_1:\theta>\theta_0$ のように範囲をもつ複合仮説のときです。

ここで重要になるのが、MP（特定の対立点に対する最強力）とUMP（一様最強力）の区別です。複合対立 $H_1:\theta>\theta_0$ の中の特定の1点に対してだけ検出力を最大にする検定なら、ネイマン・ピアソンでその点用に作れます（これがMP）。しかし普通は、対立側の値が事前に1つに決まっていません。そこで、$H_1$ に含まれるすべての $\theta_1$ に対して同時に最強力であってほしい——この要求を満たす検定を一様最強力検定（UMP＝uniformly most powerful）と呼びます。

UMPが存在するかどうかは、対立仮説の形に強く依存します。片側対立 $H_1:\theta>\theta_0$ では、尤度比が統計量の単調関数になる（単調尤度比＝MLRの）性質をもつ分布で、UMP検定が存在することが多いです。たとえば $\bar X\sim N(\theta,\sigma^2/n)$ の片側検定 $H_0:\theta=\theta_0$ 対 $H_1:\theta>\theta_0$ では、通常の片側z検定が対立側のどの $\theta>\theta_0$ に対しても同時に最強力（UMP）になります。一方、両側対立 $H_1:\theta\ne\theta_0$ では一般にUMPは存在しません。上向きの $\theta>\theta_0$ に最強力な検定（棄却域を右だけに置く）は、下向きの $\theta<\theta_0$ には最強力でなく、両方を同時に満たす検定が作れないためです。

$\Lambda(x)=\dfrac{\exp(-(x-1)^2/2)}{\exp(-x^2/2)}=\exp(x-0.5)$

これは $x$ の増加関数なので $\Lambda>k\Leftrightarrow x>c$。NP検定は大きい $x$ で棄却する片側z検定に帰着する。

▶ 最強力検定：$\bar X\sim N(\theta,\sigma^2/n)$ の片側検定 $H_0:\theta=\theta_0$ 対 $H_1:\theta>\theta_0$ では

$\bar X>\theta_0+z_\alpha\,\sigma/\sqrt{n}\ \Rightarrow\ \text{棄却}$

という通常の片側z検定が、対立側のどの $\theta>\theta_0$ に対しても同時に最強力（UMP）になる。