ネイマン・ピアソン

単純帰無 $H_0:\theta=\theta_0$ 対 単純対立 $H_1:\theta=\theta_1$ では、尤度比を閾値で棄却する検定が、与えられた有意水準のもとで検出力を最大にする（最強力）。

抽象的なので具体的に導いてみます。$X\sim N(\theta,1)$ の観測が $n=1$ 個あり、$H_0:\theta=0$ 対 $H_1:\theta=1$ とします。尤度は正規密度そのものなので、尤度比は $\Lambda(x)=\dfrac{f(x;1)}{f(x;0)}=\dfrac{\exp(-(x-1)^2/2)}{\exp(-x^2/2)}=\exp(x-0.5)$ となります。これは $x$ の増加関数です。したがって $\Lambda(x)>k$ という棄却条件は、両辺の対数をとれば $x>c$ という単純な条件と同値になります。つまりネイマン・ピアソン検定は、この場合「観測した $x$ が大きいときに棄却する」という見慣れた片側のz検定にそのまま帰着するのです。閾値 $c$ は、$H_0$ のもとで $P(X>c)=\alpha$ となるように決めます。

この補題が効くのは「単純対単純」に限られます。実務では対立仮説が範囲をもつ複合仮説のことが多く、その場合「対立側の尤度 $L(\theta_1)$」の $\theta_1$ が1つに定まりません。複合の場合にどう一般化するかは 最強力検定（UMPの存在条件）や 尤度比（一般化尤度比検定）で扱います。

$\Lambda(x)=\dfrac{\exp(-(x-1)^2/2)}{\exp(-x^2/2)}=\exp(x-0.5)$。

これは $x$ の増加関数なので $\Lambda>k\Leftrightarrow x>c$。NP検定は大きい $x$ で棄却する片側z検定に帰着する。