ネイマン・ピアソン

統計・定理

ひとことで言うと

「帰無も対立もどちらも1点だけ（単純対単純）」という最も単純な検定問題で、最も性能の良い検定はどう作ればよいか、に答える定理です。答えは「2つの仮説での尤度の比（尤度比）を計算し、それがある閾値を超えたら棄却する」というものです。

帰無仮説の密度 $f(x;\theta_0)$ と対立仮説の密度 $f(x;\theta_1)$ を重ねた図。尤度比 $\Lambda(x)=f(x;\theta_1)/f(x;\theta_0)$ は $x$ の増加関数なので、 $\Lambda>k$ は $x>c$ と同値になり、大きい $x$ の斜線領域で棄却する片側検定に帰着する。

数式で表すと

$\dfrac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)}>k\ \Rightarrow\ H_0\ \text{棄却}$

単純帰無 $H_0:\theta=\theta_0$ 対単純対立 $H_1:\theta=\theta_1$ では、尤度比を閾値で棄却する検定が、与えられた有意水準のもとで検出力を最大にする（最強力）。

ネイマン・ピアソンの補題は、仮説検定の中でも最も単純な「単純帰無

H_0:\theta=\theta_0

対単純対立

H_1:\theta=\theta_1

」という設定（帰無も対立も、パラメータが1点だけに決まっている）で、与えられた有意水準

\alpha

のもとで検出力を最大にする検定の作り方を教える定理です。その答えは、尤度比（concept: 尤度比）を使った検定で、

\dfrac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)}>k\ \Rightarrow\ H_0\ \text{を棄却}

という形をとります。

L(\theta)

はパラメータ

\theta

のときにそのデータが得られる尤度（もっともらしさ）、

k

は有意水準

\alpha

を満たすように決める閾値です。この尤度比検定が、同じ

\alpha

を守るどんな検定よりも検出力が高い（最強力である）、というのが補題の主張です（concept: 最強力検定）。抽象的なので具体的に導いてみます。

X\sim N(\theta,1)

の観測が

n=1

個あり、

H_0:\theta=0

対

H_1:\theta=1

とします。尤度は正規密度そのものなので、尤度比は

\Lambda(x)=\dfrac{f(x;1)}{f(x;0)}=\dfrac{\exp(-(x-1)^2/2)}{\exp(-x^2/2)}=\exp\!\Big(\dfrac{x^2-(x-1)^2}{2}\Big)=\exp\!\Big(\dfrac{2x-1}{2}\Big)=\exp(x-0.5)

となります。これは

x

の増加関数です。したがって「

\Lambda(x)>k

」という棄却条件は、両辺の対数をとれば「

x>c

」（

c

はある定数）という単純な条件と同値になります。つまりネイマン・ピアソン検定は、この場合「観測した

x

が大きいときに棄却する」という、見慣れた片側のz検定にそのまま帰着するのです。閾値

c

は、

H_0

のもとで

P(X>c)=\alpha

となるように決めます。この補題が効くのは「単純対単純」に限られる、という点が最重要の注意です。実務では対立仮説が

H_1:\theta\ne\theta_0

や

H_1:\theta>\theta_0

のように範囲をもつ（複合仮説の）ことが多く、その場合「対立側の尤度

L(\theta_1)

」の

\theta_1

が1つに定まりません。複合の場合にどう一般化するかは concept: 最強力検定（一様最強力UMPの存在条件）や concept: 尤度比（一般化尤度比検定）で扱います。ネイマン・ピアソンはあくまで、最も理想化された単純対単純の世界で「最適な検定の形は尤度比検定である」という出発点を与える基本定理だ、と位置づけてください。

試験に出る性質

適用範囲

単純帰無 $H_0:\theta=\theta_0$ 対単純対立 $H_1:\theta=\theta_1$ （両方が1点）に限る。

最適な検定の形

$L(\theta_1)/L(\theta_0)>k$ で棄却する尤度比検定が、同じ $\alpha$ のもとで検出力最大（最強力）。

閾値 $k$ の決め方

$H_0$ のもとで棄却確率がちょうど $\alpha$ になるように $k$ （または同値な境界 $c$ ）を決める。

片側検定への帰着

$N(\theta,1)$ では $\Lambda(x)=\exp(x-0.5)$ が $x$ の増加関数。 $\Lambda>k\Leftrightarrow x>c$ で片側z検定になる。

複合への橋渡し

対立が範囲をもつ複合仮説には直接使えない。一般化は concept: 最強力検定・concept: 尤度比へ。

例で見る

$X\sim N(\theta,1)$ 、 $n=1$ 、 $H_0:\theta=0$ 対 $H_1:\theta=1$ の尤度比は $\Lambda(x)=\dfrac{\exp(-(x-1)^2/2)}{\exp(-x^2/2)}=\exp(x-0.5)$ 。これは $x$ の増加関数なので $\Lambda>k\Leftrightarrow x>c$ 。NP検定は「大きい $x$ で棄却」する片側z検定に帰着する。

つまずきポイント

複合仮説（ $H_1$ が範囲をもつ場合）にNP補題をそのまま適用する（単純対単純限定。複合は concept: 最強力検定／concept: 尤度比へ）
尤度比の分子・分母を逆にする（対立 $L(\theta_1)$ が分子、帰無 $L(\theta_0)$ が分母。逆だと棄却の向きが狂う）
閾値 $k$ を勝手な値にする（ $k$ は有意水準 $\alpha$ から $H_0$ のもとで棄却確率が $\alpha$ になるよう決める）

定着クイズ

ネイマン・ピアソンの補題が適用できる設定は？

補題が与える最強力検定の形は？

$N(\theta,1)$ 、 $H_0:\theta=0$ 対 $H_1:\theta=1$ で尤度比 $\Lambda(x)=\exp(x-0.5)$ から導かれる棄却域は？

関連：#最強力検定 #尤度比 #検出力

この用語を扱う問題（1）

ネイマン・ピアソン統計・★★★