独立性検定（分割表）

カイ二乗統計量による検定の総称（適合度・独立性）。期待度数との乖離を測る。

適合度検定は「1つのカテゴリ変数が想定した理論分布に従うか」を調べるもので、自由度はカテゴリ数 $k$ から $k-1$（パラメータを推定した分だけさらに減る）です。これは 適合度検定で詳しく扱ったので、ここでは振り返るだけにとどめ、新しい話題として独立性検定を主役にします。

独立性検定は、2つのカテゴリ変数が独立か（関連がないか）を $r$ 行 $c$ 列の分割表（クロス集計表）で調べます。帰無仮説は「2変数は独立」。このとき各セルの期待度数は、独立なら同時確率が周辺確率の積になることから E_{ij}=\dfrac{(\text{i 行の合計})\times(\text{j 列の合計})}{\text{総合計}} で計算します。検定統計量は同じく $\chi^2=\sum_{i,j}(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}$ ですが、自由度は適合度検定とは異なり $\text{自由度}=(r-1)(c-1)$ です（$r$ は行数、$c$ は列数）。行・列それぞれの合計を固定すると自由に決められるセルが $(r-1)(c-1)$ 個になるためで、たとえば2×2表なら自由度は $(2-1)(2-1)=1$ です。適合度検定の $k-1$ とは別物なので、表の形から $(r-1)(c-1)$ を必ず使い分けてください。期待度数が小さすぎる（目安5未満の）セルが多いとχ²近似が悪くなるのは、適合度検定と同じ注意点です。

自由度は $(2-1)(2-1)=1$ で、自由度1のχ²分布の臨界値と比較する。