acpass

最強力検定

知識マップ

統計・用語

ひとことで言うと

決めた有意水準 α\alpha を守る検定はたくさん作れますが、その中で「対立仮説のもとで最も当てやすい（検出力が最大の）」検定を最強力検定と呼びます。単純対単純ならネイマン・ピアソンが答えをくれますが、対立が範囲をもつと話はぐっと難しくなります。

検出力関数の曲線。横軸はパラメータθ、縦軸は棄却確率（検出力）。θがθ0のとき検出力は有意水準αに等しく、θがθ0から離れるほど1へ近づくS字。UMP検定はこの曲線を全対立点で同時に最大化する検出力関数：θ=θ₀でα、離れるほど1に近づくα1θ₀検出力θ（対立の真値）

検出力関数の曲線。横軸はパラメータ θ\theta、縦軸は棄却確率（検出力）。θ=θ0\theta=\theta_0 のとき検出力は有意水準 α\alpha に等しく、θ\theta が θ0\theta_0 から離れるほど1へ近づくS字になる。一様最強力（UMP）検定は、この曲線を対立側のすべての θ\theta で同時に最大にする。

数式で表すと

sup⁡ power s.t. PH0(棄却)≤α\sup\ \text{power}\ \text{s.t.}\ P_{H_0}(\text{棄却})\le\alpha

有意水準 α\alpha を満たす検定のうち、対立仮説のもとでの検出力が最大のもの。単純対単純ではネイマン・ピアソン補題により尤度比検定が与える。

最強力検定（most powerful test）とは、要求する有意水準 α\alpha を満たす（第1種の過誤を α\alpha 以下に抑える）検定の中で、対立仮説のもとでの検出力（concept: 検出力）が最大のものをいいます。式で言えば PH0(棄却)≤α を満たす中で power=PH1(棄却) を最大化P_{H_0}(\text{棄却})\le\alpha\ \text{を満たす中で}\ \text{power}=P_{H_1}(\text{棄却})\ \text{を最大化} です。単純対単純（帰無も対立も1点）であれば、concept: ネイマン・ピアソンの補題が「尤度比検定が最強力だ」と即答してくれます。問題は、対立仮説が H1:θ>θ0H_1:\theta>\theta_0 のように範囲をもつ複合仮説のときです。 ここで重要になるのが、MP（特定の対立点に対する最強力）とUMP（一様最強力）の区別です。複合対立 H1:θ>θ0H_1:\theta>\theta_0 の中の特定の1点、たとえば θ=θ1\theta=\theta_1 に対してだけ検出力を最大にする検定なら、ネイマン・ピアソンでその点用に作れます（これがMP＝most powerful、その点に対して最強力）。しかし普通は、対立側の値が事前に1つに決まっていません。そこで、H1H_1 に含まれるすべての θ1\theta_1 に対して同時に最強力であってほしい——この贅沢な要求を満たす検定を一様最強力検定（UMP＝uniformly most powerful）と呼びます。UMPは「どの対立値が真であっても、それに対してベストな検定」という強い性質です。 UMPが存在するかどうかは、対立仮説の形に強く依存します。片側対立 H1:θ>θ0H_1:\theta>\theta_0（または θ<θ0\theta<\theta_0）では、尤度比が統計量の単調関数になる（単調尤度比＝MLRの）性質をもつ分布で、UMP検定が存在することが多いです。たとえば Xˉ∼N(θ,σ2/n)\bar X\sim N(\theta,\sigma^2/n) の片側検定 H0:θ=θ0H_0:\theta=\theta_0 対 H1:θ>θ0H_1:\theta>\theta_0 では、 Xˉ>θ0+zα σ/n ⇒ 棄却\bar X>\theta_0+z_\alpha\,\sigma/\sqrt{n}\ \Rightarrow\ \text{棄却} という通常の片側z検定が、対立側のどの θ>θ0\theta>\theta_0 に対しても同時に最強力、すなわちUMPになります（正規分布のMLR性質による）。一方、両側対立 H1:θ≠θ0H_1:\theta\ne\theta_0 では一般にUMPは存在しません。上向きの θ>θ0\theta>\theta_0 に最強力な検定（棄却域を右だけに置く）は、下向きの θ<θ0\theta<\theta_0 には最強力でなく、両方を同時に満たす検定が作れないためです。この場合は不偏性などの追加条件を課したうえでの最適検定（UMPU）や、concept: 尤度比の一般化尤度比検定を使うことになります。

試験に出る性質

定義

PH0(棄却)≤αP_{H_0}(\text{棄却})\le\alpha を満たす検定の中で、対立のもとの検出力が最大のもの。

単純対単純の答え

帰無も対立も1点なら、concept: ネイマン・ピアソンの尤度比検定がそのまま最強力。

MPとUMPの違い

MPは特定の1つの対立点に対して最強力。UMPは H1H_1 内のすべての対立点に対して同時に最強力。

片側ではUMPが存在しやすい

単調尤度比（MLR）をもつ分布の片側対立では、片側z検定などがUMPになる（正規の例）。

両側では一般に存在しない

両側対立 H1:θ≠θ0H_1:\theta\ne\theta_0 では右と左を同時に最強力にできず、UMPは一般に存在しない。

例で見る

Xˉ∼N(θ,σ2/n)\bar X\sim N(\theta,\sigma^2/n) の片側検定 H0:θ=θ0H_0:\theta=\theta_0 対 H1:θ>θ0H_1:\theta>\theta_0 では Xˉ>θ0+zα σ/n ⇒ 棄却\bar X>\theta_0+z_\alpha\,\sigma/\sqrt{n}\ \Rightarrow\ \text{棄却} という通常の片側z検定が、対立側のどの θ>θ0\theta>\theta_0 に対しても同時に最強力（UMP）になる（正規分布のMLR性質による）。

つまずきポイント

  • UMP検定が常に存在すると思い込む（両側対立 H1:θ≠θ0H_1:\theta\ne\theta_0 では一般に存在しない。片側では存在しやすい）
  • MPとUMPを混同する（MPは特定の1点に対して、UMPは全対立点に対して同時に最強力。要求の強さが違う）
  • 片側z検定が両側対立にもUMPだと誤解する（片側で最適でも、反対側の対立には最適でない。両側用は別に考える）

定着クイズ

MP（最強力）とUMP（一様最強力）の違いは？

UMP検定が一般に存在しないのはどの対立か？

Xˉ∼N(θ,σ2/n)\bar X\sim N(\theta,\sigma^2/n) の片側検定 H1:θ>θ0H_1:\theta>\theta_0 でUMPになるのは？

関連：#ネイマン・ピアソン#尤度比#検出力

この用語を扱う問題（1）