最強力検定

ここで重要になるのが、MP（特定の対立点に対する最強力）とUMP（一様最強力）の区別です。複合対立 $H_1:\theta>\theta_0$ の中の特定の1点に対してだけ検出力を最大にする検定なら、ネイマン・ピアソンでその点用に作れます（これがMP）。しかし普通は、対立側の値が事前に1つに決まっていません。そこで、$H_1$ に含まれるすべての $\theta_1$ に対して同時に最強力であってほしい——この要求を満たす検定を一様最強力検定（UMP＝uniformly most powerful）と呼びます。

UMPが存在するかどうかは、対立仮説の形に強く依存します。片側対立 $H_1:\theta>\theta_0$ では、尤度比が統計量の単調関数になる（単調尤度比＝MLRの）性質をもつ分布で、UMP検定が存在することが多いです。たとえば $\bar X\sim N(\theta,\sigma^2/n)$ の片側検定 $H_0:\theta=\theta_0$ 対 $H_1:\theta>\theta_0$ では、通常の片側z検定が対立側のどの $\theta>\theta_0$ に対しても同時に最強力（UMP）になります。一方、両側対立 $H_1:\theta\ne\theta_0$ では一般にUMPは存在しません。上向きの $\theta>\theta_0$ に最強力な検定（棄却域を右だけに置く）は、下向きの $\theta<\theta_0$ には最強力でなく、両方を同時に満たす検定が作れないためです。

$\bar X>\theta_0+z_\alpha\,\sigma/\sqrt{n}\ \Rightarrow\ \text{棄却}$

という通常の片側z検定が、対立側のどの $\theta>\theta_0$ に対しても同時に最強力（UMP）になる。