F分布

確率・用語

ひとことで言うと

独立な2つのカイ二乗を、それぞれの自由度で割ってから比をとった分布がF分布です。「2つのばらつき（分散）の比」を扱う検定の基準分布で、分散分析や回帰の全体検定で主役になります。 $t$ 分布とも深いつながり（ $t^2$ がFになる）があります。

こんなデータが従う

2つの独立な標本分散の比2標本の分散の等質性検定（F検定）の統計量分散分析（ANOVA）のF統計量重回帰分析の全体検定のF統計量2つの正規母集団の分散比の信頼区間

F分布は分散比を測る場面に現れる。分散分析や回帰のF検定では、説明される分散と残差分散の比がF分布に従う。

F分布は0以上の値だけをとり右に歪む非対称な形。上側臨界点より右の棄却域（斜線）では、分散比が有意に大きいと判定する。

数式で表すと

$F=\dfrac{W_1/k_1}{W_2/k_2}\sim F(k_1,k_2)$

独立な2つのカイ二乗を自由度で割った比の分布。分散比の検定に使う。

F分布は、独立な2つのカイ二乗分布

W_1\sim\chi^2(k_1)

、

W_2\sim\chi^2(k_2)

（concept: χ²分布）を自由度で割った比

F=\dfrac{W_1/k_1}{W_2/k_2}\sim F(k_1,k_2)

が従う分布です（

k_1

: 分子自由度、

k_2

: 分母自由度）。値は0以上で右に長い裾を引く非対称な形をとります。用途は「2つの分散（ばらつき）の比」を扱う場面——2標本のF検定、分散分析（ANOVA）、重回帰の全体検定——で、分散比が出てくる場面で必ず登場します。最重要の関係が

t

分布との接続です。

T\sim t(k)

のとき

T^2\sim F(1,k)

が成り立ちます。導出は定義をたどるだけです。

T=Z/\sqrt{W/k}

（

Z\sim N(0,1)

、

W\sim\chi^2(k)

、独立）を2乗すると

T^2=Z^2/(W/k)

。

Z^2\sim\chi^2(1)

なので、これは

\chi^2(1)/1 \div \chi^2(k)/k

の形、すなわち

F(1,k)

そのものです。数値確認：concept: t検定の例では

n=16

（自由度15）、臨界値

t_{0.025,15}=2.131

でした。

t_{\alpha/2,k}^2=F_{\alpha,1,k}

より

F_{0.05,1,15}=2.131^2\approx4.541

。その他の性質：逆数関係

1/F(k_1,k_2)\sim F(k_2,k_1)

、平均

E[F]=k_2/(k_2-2)

（

k_2>2

）。

試験に出る性質

定義

$F=(W_1/k_1)/(W_2/k_2)$ 、 $W_i\sim\chi^2(k_i)$ 独立。値は0以上で右に歪む非対称分布。

用途

2分散の等質性検定、分散分析（ANOVA）、重回帰の全体検定など「分散比」を扱う場面の基準分布。

t分布との関係

$T\sim t(k)\Rightarrow T^2\sim F(1,k)$ 。 $Z^2\sim\chi^2(1)$ を使えば定義からすぐ導ける。

臨界値の関係

$F_{\alpha,1,k}=t_{\alpha/2,k}^2$ 。自由度15の例では $2.131^2\approx4.541=F_{0.05,1,15}$ 。

逆数と平均

$1/F(k_1,k_2)\sim F(k_2,k_1)$ 。 $E[F]=k_2/(k_2-2)$ （ $k_2>2$ ）。

例で見る

concept: t検定より： $n=16$ （自由度15）、 $t_{0.025,15}=2.131$ 。 $F_{0.05,1,15}=t_{0.025,15}^2=2.131^2\approx4.541$ （ $t_{\alpha/2,k}^2=F_{\alpha,1,k}$ の関係）。

つまずきポイント

分子・分母の自由度の順序を取り違える（ $F(k_1,k_2)$ は分子が $k_1$ 、分母が $k_2$ 。逆数で $F(k_2,k_1)$ ）
カイ二乗をそのまま比にする（自由度で割ってから比をとる。 $F=(W_1/k_1)/(W_2/k_2)$ ）
$t^2\sim F(1,k)$ の自由度を混乱する（分子自由度は必ず1。分母は $t$ の自由度 $k$ ）

定着クイズ

F分布の定義として正しいのは？

$T\sim t(k)$ のとき $T^2$ は何に従うか？

$t_{0.025,15}=2.131$ のとき $F_{0.05,1,15}$ は？