F分布

独立な2つのカイ二乗を自由度で割った比の分布。分散比の検定に使う。

F分布で試験的に最重要なのが $t$ 分布との関係です。結論を先に書くと $T\sim t(k)\ \Longrightarrow\ T^2\sim F(1,k)$ です。導出は定義をたどるだけです。$t$ 分布は $T=Z/\sqrt{W/k}$（$Z\sim N(0,1)$、$W\sim\chi^2(k)$、両者独立）と定義されます（t分布）。両辺を2乗すると $T^2=\dfrac{Z^2}{W/k}=\dfrac{Z^2/1}{W/k}$ ですが、標準正規の2乗は自由度1のカイ二乗、すなわち $Z^2\sim\chi^2(1)$ です。すると $T^2$ は「$\chi^2(1)$ を自由度1で割ったもの ÷ $\chi^2(k)$ を自由度 $k$ で割ったもの」となり、F分布の定義そのままで $F(1,k)$ になります。

この関係は数値でも確かめられます。t検定の例では $n=16$（自由度15）、$t=2.0$、両側5%の臨界値が $t_{0.025,15}=2.131$ でした。上の関係から、自由度 $(1,15)$ のF分布の上側5%点はこの $t$ 臨界値の2乗に一致し $F_{0.05,1,15}=t_{0.025,15}^2=2.131^2\approx4.541$ が成り立ちます（一般に $t_{\alpha/2,k}^2=F_{\alpha,1,k}$）。t検定をすでに学んだ人にとっては「知っている $2.131$ を2乗しただけ」でF分布の臨界値が得られる、という見方ができます。その他の有用な性質として、分子と分母を入れ替えるだけの逆数関係 $1/F(k_1,k_2)\sim F(k_2,k_1)$、および平均 $E[F]=k_2/(k_2-2)$（$k_2>2$ のとき。分母自由度が小さいと平均が大きくなる）があります。

$T^2\sim F(1,k)$ の関係から、自由度 $(1,15)$ のF分布の上側5%点はこの2乗に一致し

$F_{0.05,1,15}=t_{0.025,15}^2=2.131^2\approx4.541$（一般に $t_{\alpha/2,k}^2=F_{\alpha,1,k}$）。