t検定

母分散未知・小標本で母平均を検定する。統計量は自由度 $n-1$ の $t$ 分布に従う。

t分布で見たとおり、$t$ 分布は正規分布より裾が厚く、自由度が小さいほどその傾向が強くなります。これが判定に効く具体例を、仮説検定の例とわざと比べてみましょう。仮説検定の例では $z=2.0$ で、臨界値 $1.96$ を超えるので棄却でした。いっぽうt検定で、$n=16$（自由度 $15$）、$\bar X=52$、$s=8$、$\mu_0=48$ とすると $t=\dfrac{52-48}{8/\sqrt{16}}=\dfrac{4}{2}=2.0$ と、統計量の値はまったく同じ $2.0$ です。ところが $t$ 分布の臨界値は $t_{0.025,15}=2.131$ で $1.96$ より大きく、$|t|=2.0<2.131$ なので、こちらは棄却できません。同じ $2.0$ でも、母分散未知でtを使うと裾が厚いぶん臨界値のハードルが上がり、判定がひっくり返りうるのです。これは「$\sigma$ を $s$ で代用した不確かさのぶん、結論を慎重にする」という保守性の表れです。

t検定は二標本にも自然に拡張されます。2群の母平均差を検定するとき、母分散が未知なら同じくtを使います（2標本検定では母分散既知のz検定を扱いましたが、その自然な拡張です）。2群の母分散が等しいと仮定できる場合は、両群をまとめてプールした分散 $s_p^2$ から標準誤差を作り、自由度 $n_1+n_2-2$ の $t$ 分布を使う「プールt検定」が標準です。等分散を仮定できないときは、自由度を補正するウェルチのt検定を使います。いずれの場面でも判断の軸は同じで、母分散が分かっていれば正規、分からなければtに切り替える、という対応関係を押さえておけば迷いません。

$t=\dfrac{52-48}{8/\sqrt{16}}=\dfrac{4}{2}=2.0$。

臨界値 $t_{0.025,15}=2.131$ と比べると $|t|=2.0<2.131$ で棄却できない。同じ $2.0$ でも、母分散既知のz検定（臨界値 $1.96$）なら棄却だったのと対照的。