t検定

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統計・用語

ひとことで言うと

母分散が分からず、標本も小さいときに母平均を検定する方法です。母分散を標本分散で代用するぶん不確かさが増えるので、正規分布ではなく裾の厚い $t$ 分布を基準に使います。これが「だから少し棄却しにくくなる」効果を生みます。

標準正規（緑）と $t(15)$ （赤破線）。裾が厚いぶん臨界値が $2.131>1.96$ となり、統計量 $2.0$ でも正規なら棄却・ $t$ では棄却できない。

数式で表すと

$t=\dfrac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

母分散未知・小標本で母平均を検定する。統計量は自由度 $n-1$ の $t$ 分布に従う。

t検定は、母分散

\sigma^2

が未知で標本サイズも小さいときに母平均

\mu

を検定する方法です。母分散既知のz検定と違い、

\sigma

を標本標準偏差

s

で代用するため、基準分布が正規分布から裾の厚い

t

分布（concept: t分布）に変わります。一標本t検定の統計量は

t=\dfrac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt{n}}

で、

H_0:\mu=\mu_0

のもとで自由度

n-1

の

t

分布に従います。 concept: 仮説検定の例と同じ統計量

2.0

で対比してみましょう。

n=16

（自由度15）、

\bar X=52

、

s=8

、

\mu_0=48

のとき

t=(52-48)/(8/\sqrt{16})=4/2=2.0

。正規の臨界値

1.96

なら棄却ですが、

t

の臨界値

t_{0.025,15}=2.131

なら

|t|=2.0<2.131

で棄却できません。これは「

\sigma

を

s

で代用した不確かさのぶん、慎重に判定する」という保守性の表れです。

t^2\sim F(1,k)

の関係（concept: F分布）から、両側5%臨界値は

2.131^2=4.541=F_{0.05,1,15}

と一致します。二標本に拡張すれば、等分散仮定下ではプールt検定（自由度

n_1+n_2-2

）、不等分散ではウェルチのt検定を使います。母分散既知なら正規、未知ならt——この切り替えが判断の基本軸です。

試験に出る性質

使う場面

母分散 $\sigma^2$ 未知・小標本で母平均 $\mu$ を検定。 $\sigma$ を $s$ で代用するため基準分布が $t$ になる。

統計量と自由度

$t=\dfrac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n}$ 、自由度 $n-1$ （一標本）。 $\sigma$ を推定した分だけ自由度が1減る。

裾が厚く保守的

臨界値が正規より大きい（自由度15で $2.131>1.96$ ）。同じ統計量でも棄却しにくい。

z検定との対比

母分散既知→z検定（正規）、未知→t検定。同じ $2.0$ でもz:棄却／t:棄却せずになりうる。

二標本への拡張

等分散→プールt（自由度 $n_1+n_2-2$ ）、不等分散→ウェルチのt（自由度補正）。

例で見る

$n=16$ （自由度15）、 $\bar X=52$ 、 $s=8$ 、 $\mu_0=48$ → $t=(52-48)/(8/4)=2.0$ 。臨界値 $t_{0.025,15}=2.131$ 。 $|t|=2.0<2.131$ なので棄却できない（z検定の臨界値 $1.96$ なら棄却だったのと対照的）。

つまずきポイント

母分散 $\sigma$ が既知なのにt検定を使う（既知ならz検定でよい）
自由度を $n$ と間違える（一標本は $n-1$ ）
母分散未知なのにz検定を使う（ $s$ で代用した不確かさを無視してしまう）

定着クイズ

t検定を使うのはどんな場面か？

$n=16$ 、 $\bar X=52$ 、 $s=8$ 、 $\mu_0=48$ のときの $t$ 値は？

同じ統計量 $2.0$ でz検定なら棄却・t検定では棄却できないのはなぜ？

関連：#t分布 #区間推定 #仮説検定

この用語を扱う問題（2）