p値

統計・用語

ひとことで言うと

「もし帰無仮説 $H_0$ が正しかったとして、いま観測したのと同じか、それ以上に極端なデータがたまたま出てしまう確率」がp値です。この確率が小さい（有意水準より小さい）ほど「 $H_0$ では説明しにくい珍しいことが起きた」と考えて $H_0$ を棄却します。

標準正規曲線で、観測値 $z=\pm2.0$ より外側の斜線部がp値（両側）。臨界値 $z=\pm1.96$ を破線で重ねると、斜線部分（p値）が破線の外側にあり $\alpha$ 領域よりわずかに小さい。つまり $p<\alpha$ なので $H_0$ を棄却する。

数式で表すと

$p<\alpha\Rightarrow H_0\ \text{棄却}$

$H_0$ の下で観測値以上に極端な値が出る確率。有意水準と比較して判断する。

p値（p-value）は、帰無仮説

H_0

が正しいと仮定したうえで、「いま手元で観測した検定統計量と同じか、それ以上に極端な値」が出る確率です。記号で書くと、観測した統計量を

z_{\mathrm{obs}}

として、両側検定なら

p=P\big(|Z|\ge |z_{\mathrm{obs}}|\mid H_0\big)

です（

Z

は

H_0

のもとでの検定統計量、

|\cdot|

は絶対値）。concept: 仮説検定では「統計量が臨界値

z_{\alpha/2}

を超えたら棄却」という棄却域の言葉で判定しましたが、p値はそれを「確率」の言葉で言い換えたものです。両者は完全に同じ判定を与え、その対応関係が

p<\alpha\ \Longleftrightarrow\ H_0\ \text{を棄却}

です。

\alpha

は有意水準（あらかじめ決めた棄却の基準、たとえば0.05）です。なぜこの2つが一致するのかを、concept: 仮説検定で扱ったのと同じ例で確かめます。

H_0:\mu=50

、標本平均

\bar X=54

、標準誤差

\mathrm{SE}=2

のとき、検定統計量は

z_{\mathrm{obs}}=(54-50)/2=2.0

でした。臨界値

z_{0.025}=1.96

と比べて

|z_{\mathrm{obs}}|=2.0>1.96

だから棄却、というのが棄却域による判定です。これをp値で見ると、両側なので

p=2\times P(Z\ge 2.0)=2\times(1-\Phi(2.0))=2\times0.0228=0.0456

です（

\Phi

は標準正規の累積分布関数）。

p=0.0456<0.05=\alpha

なので、やはり棄却。まったく同じ状況を、臨界値で見るか確率で見るかの違いにすぎません。図では、

z=\pm2.0

の外側（p値）が

z=\pm1.96

の外側（

\alpha

）よりわずかに内側に食い込んでいる＝面積が小さいことが、

p<\alpha

を表しています。 p値の便利な点は、「棄却したか否か」だけでなく「どれくらいぎりぎりだったか／どれくらい強く棄却されたか」という証拠の強さが数値で分かることです。

p=0.04

と

p=0.0001

はどちらも

\alpha=0.05

で棄却ですが、後者の方がはるかに

H_0

では起こりにくい結果です。なお注意として、片側検定か両側検定かでp値は2倍違います。上の例の片側版なら

p=P(Z\ge2.0)=0.0228

で、両側の半分です。どちらの対立仮説を立てているかで分母（極端さの数え方）が変わるため、問題設定を必ず確認してください。

試験に出る性質

定義

$H_0$ のもとで観測値以上に極端な値が出る確率。 $p=P(|Z|\ge|z_{\mathrm{obs}}|\mid H_0)$ （両側）。

棄却基準との同値

$p<\alpha\ \Leftrightarrow\ H_0$ 棄却。棄却域による判定（concept: 仮説検定）と完全に一致する。

両側は2倍

両側検定では $p=2\times P(Z\ge|z_{\mathrm{obs}}|)$ 。片側はその半分。設定で2倍違う。

証拠の強さ

p値が小さいほど $H_0$ のもとで起こりにくく、棄却の証拠が強い。0/1判定より情報量が多い。

例の一貫性

$z_{\mathrm{obs}}=2.0$ （両側）なら $p=2(1-\Phi(2.0))=0.0456<0.05$ で棄却。concept: 仮説検定のz=2.0の例と同じ判定。

例で見る

concept: 仮説検定と同じ設定で、 $H_0:\mu=50$ 、 $\bar X=54$ 、 $\mathrm{SE}=2$ → $z_{\mathrm{obs}}=2.0$ 。両側p値は $p=2\times(1-\Phi(2.0))=2\times0.0228=0.0456$ 。 $p=0.0456<0.05=\alpha$ なので $H_0$ を棄却。臨界値 $1.96$ による判定とまったく同じ結論になる。

つまずきポイント

p値を「 $H_0$ が正しい確率」と誤解する（正しくは「 $H_0$ のもとでこのデータ以上に極端な値が出る確率」。 $H_0$ の真偽の確率ではない）
片側と両側でp値が2倍違うのを忘れる（両側は片側の2倍。立てた対立仮説に合わせて数える）
「 $p>0.05$ だから $H_0$ が正しいと証明された」と解釈する（棄却できなかっただけで、 $H_0$ の正しさの証明にはならない）

定着クイズ

p値の正しい定義は？

$z_{\mathrm{obs}}=2.0$ （両側）のときのp値は？（ $1-\Phi(2.0)=0.0228$ ）

「 $p>0.05$ だった」ことの正しい解釈は？