t分布

母分散未知・小標本での平均の検定/推定に使う分布。自由度 $\to\infty$ で $N(0,1)$ に収束。

直感的には次のように理解できます。母分散 $\sigma^2$ が既知なら、標準化した平均 $\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ はちょうど $N(0,1)$ に従います。ところが $\sigma$ が未知で、標本標準偏差 $S$ で代用すると、$\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}$ は分母自体がランダムに揺らぐぶん追加の不確実性を抱え、その結果として裾が厚くなります。この"$\sigma$ を $S$ で代用したときの分布"がt分布で、自由度は $k=n-1$ です。

自由度 $k$ が小さいほど（標本が少なく $S$ の信頼性が低いほど）裾は厚くなり、極端な値が出やすくなります。逆に $k\to\infty$ では $S$ が $\sigma$ にほぼ等しくなり、t分布は標準正規 $N(0,1)$ に収束します。実務では、母分散未知・小標本での平均の区間推定や、平均の差を調べるt検定の基礎分布として使います。標本が大きい（自由度が大きい）ときは正規近似で済ませて構いません。

は自由度9のt分布に従う。$n$ が大きくなるほどこの分布は $N(0,1)$ に近づく。