2標本検定

2群の平均差を検定する。差の標準誤差は両群の分散を足して求める。

ここで初学者が最もつまずくのが差の分散です。2群が独立なら、差の分散は和になります： $V[\bar X_1-\bar X_2]=V[\bar X_1]+V[\bar X_2]=\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}$ 「引いているのに足すの?」と感じますが、独立な変数を引いても分散は加わります（分散 で見た $V[X-Y]=V[X]+V[Y]$、独立時）。符号を反転しても $(-1)^2=1$ でばらつきは減らないからです。したがって差の標準誤差は $\mathrm{SE}=\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$ です。

あとは母分散が既知か未知かで基準分布が変わります。母分散 $\sigma_1^2,\sigma_2^2$ が既知なら、検定統計量 $Z=\dfrac{\bar X_1-\bar X_2}{\mathrm{SE}}$ は標準正規 $N(0,1)$ に従い、Z検定になります。母分散が未知のときは標本分散で代用し、t検定になります（t分布）。特に2群の母分散が等しいと仮定できる場合は、両群のデータをまとめてプールした分散 $s_p^2$ を作って $\mathrm{SE}=s_p\sqrt{\tfrac{1}{n_1}+\tfrac{1}{n_2}}$ とし、自由度 $n_1+n_2-2$ のt分布を使うのが標準的な「プールt検定」です（等分散を仮定しない場合はウェルチの方法を使い自由度を補正します）。1標本のときと同じく、母分散が分かっていれば正規、分からなければtに切り替える、という対応関係です。

$\mathrm{SE}=\sqrt{16/25+25/25}=\sqrt{0.64+1}=\sqrt{1.64}\approx1.28$、$Z=\dfrac{52-48}{1.28}\approx3.12$。

$|Z|$ が大きく、母平均に差があると判断できる。