差

もうひとつの重要性質は、正規分布の差はやはり正規になることです。$X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$ が独立なら $X-Y\sim N(\mu_X-\mu_Y,\ \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$ で、平均は引き、分散は足します。これは正規の線形結合がふたたび正規になる（線形結合）ことの特別な場合です。この性質のおかげで『2群の差が正の確率』のような問いが、標準正規 $Z$ への変換だけで解けます。

具体例で『分散は足す』を体感しましょう。ある集団で男性身長 $X\sim N(170,9^2)$ cm、女性身長 $Y\sim N(157,6^2)$ cm が独立とします。差 $D=X-Y$ は、平均 $=170-157=13$、分散 $=9^2+6^2=81+36=117$（ここで $81-36=45$ としないこと！）。よって $D\sim N(13,117)$、標準偏差 $=\sqrt{117}\approx10.8$ cm です。『無作為に選んだ男性のほうが女性より背が高い確率』は $P(D>0)$ で、標準化すると $P\!\left(Z>\dfrac{0-13}{10.8}\right)=P(Z>-1.20)=\Phi(1.20)\approx0.885$。約88.5%です。もし分散を誤って $81-36=45$ としていれば標準偏差 $\approx6.7$、$Z>-1.94$ で約0.974となり、答えが大きくずれます。差の問題では『平均は引く・分散は足す』をセットで唱えるのが安全です。

平均 $=170-157=13$、分散 $=81+36=117$（引かずに足す！）。$D\sim N(13,117)$、SD $=\sqrt{117}\approx10.8$。

$P(\text{男性のほうが高い})=P(D>0)=P\!\left(Z>\frac{-13}{10.8}\right)=P(Z>-1.20)=\Phi(1.20)\approx0.885$。