標本分散と不偏分散

本試験でいう「標本分散」は $n$ で割る $s^2=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2$、「不偏分散」は $n-1$ で割る $u^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2$ で、$u^2=\frac{n}{n-1}s^2$、$E[u^2]=\sigma^2$。正規母集団では $(n-1)u^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$。

なぜ $n-1$ で割ると不偏になるのか。直感は自由度です。本来知りたいのは真の平均 $\mu$ からの偏差 $(x_i-\mu)$ ですが、$\mu$ は未知なので代わりに標本平均 $\bar x$ を使います。ところが $\bar x$ は同じデータから計算した値なので、偏差 $(x_i-\bar x)$ には『合計が必ず0になる』という制約が入ります（$\sum(x_i-\bar x)=\sum x_i-n\bar x=0$）。つまり $n$ 個の偏差のうち $n-1$ 個を決めれば、残り1個は自動的に定まってしまう——自由に動ける情報は $n-1$ 個ぶんしかないのです。$n$ で割る $s^2$ は（標本平均まわりの散らばりは真の $\mu$ まわりより必ず小さいため）$\sigma^2$ を系統的に過小評価し、実際 $E[s^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2<\sigma^2$ と偏ります。この『失われた1自由度』を埋め合わせるように $n-1$ で割ると $E[u^2]=\sigma^2$ となり、過小評価のクセが消えます。これが『不偏』分散と呼ばれる理由です（不偏推定量）。

さらに正規母集団のときには、$u^2$ の分布そのものが分かります。χ²分布（C012）で『標準正規を2乗して足すとχ²になる』と軽く触れましたが、その本格的な姿がここで現れます。母集団が $N(\mu,\sigma^2)$ のとき $\dfrac{(n-1)u^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ が成り立ちます。自由度がぴったり $n-1$ になっているのは、上で見た『偏差の和=0で1自由度失う』ことの分布論的な反映です。この事実は、分散の区間推定や、母分散に関する検定（χ²検定）の土台になります。同じ関係を $n$ 割りの $s^2$ で書くと $\dfrac{n\,s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ となり、自由度は $n-1$ のままで分子の係数だけが変わる点に注意してください。実務では、$u^2$ は不偏ですが標準偏差 $u=\sqrt{u^2}$ は（平方根が非線形なので）不偏ではない点、$n-1$ で割るのは正規母集団以外でも不偏性のために有効である点を押さえておくとよいでしょう。

偏差 $(x_i-\bar x)=(-4,-2,0,2,4)$（和は0）。二乗和 $\sum(x_i-\bar x)^2=16+4+0+4+16=40$。

標本分散（$n$ 割り）$s^2=40/5=8$、不偏分散（$n-1$ 割り）$u^2=40/4=10$。両者は $u^2=\frac{n}{n-1}s^2=\frac54\times8=10$ で確かめられる。

母分散 $\sigma^2$ の推定や $\chi^2$ 信頼区間に使うのは $u^2$ のほうで、正規母集団なら $4u^2/\sigma^2\sim\chi^2(4)$。