特性関数

確率変数 $X$ の特性関数は $\varphi(t)=E[e^{itX}]$（$i=\sqrt{-1}$）で定義される。積率母関数（MGF）とほぼ同じ性質を持つが、$t$が任意の実数で常に存在する（MGFは存在しない分布がある）点で優れる。期待値 $\mu$ が存在するとき $\varphi(t)=1+i\mu t+o(t)$ と展開でき、独立な確率変数の和の特性関数は各特性関数の積になる性質から、中心極限定理の証明などに利用される。

期待値 $\mu=E[X]$ が存在するとき、 $\varphi(t)=1+i\mu t+o(t)$ とテイラー展開でき、積率母関数と同様に微分してモーメントを取り出せます。また独立な確率変数の和の特性関数は各特性関数の積になります。 $X\perp Y\ \Rightarrow\ \varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$ この性質と一意性定理（特性関数が分布を一意に定める）を組み合わせることで、独立な確率変数の和の極限分布が正規分布に近づくこと（中心極限定理）などが証明できます。

となる。$t=0$ を代入すると各項が1になるため $\varphi(0)=\dfrac{1}{n+1}(n+1)=1$ となり、性質「$\varphi(0)=1$」と一致することが確認できる。