決定係数

回帰の説明力 $R^2$。単回帰では相関係数の二乗に等しい。

ここが 単回帰の項との違いです。単回帰では『$R^2=\rho^2$（相関係数の二乗）』という便利な関係が成り立ちますが、これはあくまで説明変数が1つの単回帰に限った話です。$R^2$ の本来の定義は上の『SSR/SST＝1−SSE/SST』という変動の割合であり、こちらは説明変数が複数ある重回帰でもそのまま使える一般的な定義です。重回帰では単一の相関係数 $\rho$ が定義できないので『$\rho^2$』では測れませんが、変動の分解 $\text{SST}=\text{SSR}+\text{SSE}$ はそのまま成り立つので、$R^2=1-\text{SSE}/\text{SST}$ で説明力を測れます。つまり『$R^2=\rho^2$』は単回帰での便利な副産物、『$R^2=\text{SSR}/\text{SST}$』が普遍的な本体、と整理するとよいでしょう。

実務上の注意。$R^2$ は『説明変数を増やすと必ず増える（または減らない）』性質があり、無関係な変数を足しても見かけ上は上がってしまいます。だから重回帰でモデルを比較するときは、変数の数で調整した自由度調整済み決定係数を使うのが普通です。また $R^2$ が高いことは『当てはまりの良さ』を意味するだけで、因果関係や予測の正しさを保証しないことも、単回帰の項と同じく重要な留意点です。

C071の残差から $\text{SSE}=\sum e_i^2=1.90$。よって $\text{SSR}=\text{SST}-\text{SSE}=10-1.90=8.10$。

$R^2=\text{SSR}/\text{SST}=8.10/10=0.81$。$=1-1.90/10=0.81$ とも一致。全変動の81%を回帰が説明している。