モーメント法

統計・用語・点推定

ひとことで言うと

母集団の積率（平均・二乗平均など）と、標本から計算した積率を等しいと置いて、未知パラメータを求める方法です。最尤法より計算が簡単な場合に使われます。

一様分布U(0,θ)のθの推定（θ̂=2X̄）正規分布のμ,σ²の推定ガンマ分布の形状パラメータの推定保険データの初期パラメータ推定（MLEの初期値として）ベータ分布のパラメータ推定

最尤推定法が解析的に解けない（尤度方程式が複雑）場合の簡易な代替手段、また最尤推定法の数値計算の初期値としてよく使われます。

標本から計算した積率（左）と母集団の積率（右）を等式で結び、未知パラメータについて解く。

E[X^k]=\tfrac1n\sum X_i^k

モーメント法（積率法）は、母集団の積率 $E[X^k]$ と標本の積率 $\dfrac1n\sum X_i^k$

基本アイデア

母集団の積率＝標本の積率と置く。

1次積率（平均）

$E[X]=\frac1n\sum X_i$

U(0,θ)からn=8個の標本を取り、X̄=5のとき、 $E[X]=\theta/2=\bar X$ から $\hat\theta=2\times5=10$

U(0,θ)からの標本平均が7のとき、モーメント法によるθ̂は？

モーメント法の基本的な考え方は？

2つの未知パラメータを推定する場合、必要な積率の数は？