最大値

密度は分布関数を $t$ で微分して得ます。$F_{(n)}(t)=F(t)^n$ を合成関数の微分で $t$ について微分すると、 $f_{(n)}(t)=\dfrac{d}{dt}[F(t)]^n=n[F(t)]^{n-1}f(t)$ となります（外側の微分 $n[F(t)]^{n-1}$ に、内側の $F'(t)=f(t)$ が掛かる）。直感的には、最大値がちょうど $t$ 付近にあるのは『誰か1人が $t$ 付近にいて（$f(t)$）、残り $n-1$ 人は全員 $t$ 以下にいる（$[F(t)]^{n-1}$）』状況で、その人の選び方が $n$ 通りある、と読めます。

一様分布 $U(0,1)$ で具体化しましょう。$F(t)=t,\ f(t)=1$（$0<t<1$）なので、最大値の密度は $f_{(n)}(t)=n\,t^{n-1}$ です。これは ベータ分布 $\mathrm{Beta}(n,1)$ 分布の密度に一致します。期待値は $E[X_{(n)}]=\int_0^1 t\cdot n t^{n-1}\,dt=n\int_0^1 t^{n}\,dt=\dfrac{n}{n+1}$ となり、有名な結果 $E=n/(n+1)$ が出ます。$n$ が大きいほど $n/(n+1)$ は1に近づき、最大値が支持の上限1へ張り付いていくことが式からも読み取れます。保険の文脈では、$n$ 件の独立な保険金請求のうち最大の請求額の振る舞いがこれにあたり、契約件数 $n$ が増えるほど『最大級の損害』が分布の上限近くまで伸びていく——再保険や巨大リスクの評価で効いてくる直感です。分散は $V[X_{(n)}]=\dfrac{n}{(n+1)^2(n+2)}$ で、$n$ が増えると上限付近に密集して分散は小さくなります。

$E[\max]=\int_0^1 t\cdot5t^4\,dt=5\int_0^1 t^5\,dt=5/6\approx0.8333$（公式 $n/(n+1)=5/6$ と一致）。

最大値は ベータ分布 $\mathrm{Beta}(5,1)$ に従い、分散 $=\dfrac{n}{(n+1)^2(n+2)}=\dfrac{5}{36\times7}=\dfrac{5}{252}\approx0.0198$。