最小値

第1の角度は生存関数の積です。最小値が $t$ を超える$\iff$全員が $t$ を超える、なので独立性から $P(\min>t)=\prod_i P(X_i>t)=\prod_i e^{-\lambda_i t}=e^{-(\sum_i\lambda_i)t}$ となり、これは率 $\sum_i\lambda_i$ の指数分布の生存関数そのものです。指数の肩で率がそのまま足し算になる点が本質で、図の生存曲線でも『各曲線の積＝最小値の曲線』として現れます。

第2の角度がハザードの加法性で、こちらが直感の核心です。指数分布の瞬間故障率（ハザード率）は一定値 $\lambda_i$ で、『今この瞬間の微小時間 $dt$ に成分 $i$ が初めて故障する確率』は近似的に $\lambda_i\,dt$ です。最小値＝『どれか1つでも故障する最初の時刻』なので、微小時間 $dt$ に少なくとも1つが故障する確率は、独立なら各成分の故障確率の和 $\sum_i\lambda_i\,dt$（同時に2つ起きる確率は $dt$ の高次で無視できる）。つまり最小値のハザード率が $\sum_i\lambda_i$ となり、ハザード一定の指数分布の定義から $\min\sim\mathrm{Exp}(\sum_i\lambda_i)$ が出ます。実務では、複数の独立な故障原因や保険クレーム発生原因が並走するとき、『最初の事故が起きるまでの時間』を率の合計で一気に評価できます（期待値は $1/\sum_i\lambda_i$）。

最小値 $\sim\mathrm{Exp}(0.1+0.2+0.3)=\mathrm{Exp}(0.6)$。期待値 $E[\min]=1/0.6\approx1.667$。

『成分1が最初に故障する確率』は $\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)=0.1/0.6\approx0.1667$。