競合

複数の独立指数事象が競うとき、最初に起こる確率は率に比例する。

2変数の基本公式は $P(X<Y)=\dfrac{\lambda_X}{\lambda_X+\lambda_Y}$ です（$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda_X),Y\sim\mathrm{Exp}(\lambda_Y)$ が独立）。これを $n$ 変数へ一般化すると、成分 $i$ が最初に起きる確率は $P(X_i\text{が最小})=\dfrac{\lambda_i}{\sum_j\lambda_j}$ です。勝つ確率は率に比例し、率の総和で正規化したものになります。

重要な性質を3つ。第1に、勝つ確率の合計は $\sum_i\lambda_i/\sum_j\lambda_j=1$ で、必ずどれか1つが最初に起きる。第2に、『どれが最初か（勝者）』と『最初の事象がいつか（最小値 指数分布 $\mathrm{Exp}(\sum\lambda_j)$）』は独立——勝者を知っても発生時刻の分布は変わらず、その逆も同様。これは指数分布ならではで、ポアソン過程の解析を大きく簡単にします。第3に、これは 間引きと表裏一体です。保険でいえば、複数の独立な事故原因のうち『どの原因のクレームが最初に来るか』の確率を、率の比だけで即座に出せる、という実用性があります。

各者が最初に『勝つ』確率：$\lambda_1/0.6\approx0.1667,\ \lambda_2/0.6\approx0.3333,\ \lambda_3/0.6=0.5$。

合計 $=0.1667+0.3333+0.5=1.0$。