ティーレの公式

給与1あたりの責任準備金が時間とともにどう変化するかを表す連続時間の式。ファクラーの再帰式（NEN056＝離散）の連続版で、保険料の払い込みによる増加・利息による増加・脱退による相対的な増加・昇給による相対的な減少・脱退給付の支払いによる減少の5項からなる。

5項の読み方

・$P_{t}$：保険料が払い込まれるぶん増える ・$\delta\,{}_{t}V_{x}$：利息が付くぶん増える（$\delta$ は利力） ・$\mu_{x+t}\,{}_{t}V_{x}$：脱退した人の持分が残った人に配分されるぶん、1人あたりでは増える ・$-\lambda_{x+t}\,{}_{t}V_{x}$：給与が上がるぶん、給与1あたりで見ると目減りする（$\lambda$ は昇給力） ・$-s^{(x)}_{t}\,\mu_{x+t}$：脱退した人に給付を払うぶん減る（$s^{(x)}_{t}$ は給与1あたりの給付倍率）

脱退力 $\mu$ が2回出るところが山である。1回目は残存者への配分、2回目は給付の支払いで、向きが逆である。

導出は「総額を微分して人数と給与で割る」だけ

集団の責任準備金の総額を $W(t)={}_{t}V_{x}\cdot l(t)\cdot b(t)$（$l$ は残存者数、$b$ は給与指数）と置く。総額の動きは

$\dfrac{dW}{dt}=\delta\,W+P\,l\,b-\mu\,l\,b\,s$

である（利息で増え、保険料で増え、脱退給付で減る）。左辺を積の微分で開き、$l^{\prime}=-\mu\,l$、$b^{\prime}=\lambda\,b$ を使うと

$\dfrac{dW}{dt}=l\,b\left(\dfrac{d}{dt}{}_{t}V_{x}-\mu\,{}_{t}V_{x}+\lambda\,{}_{t}V_{x}\right)$

となる。両辺を $l\,b$ で割れば上の式になる。$-\mu V$ と $+\lambda V$ が移項して $+\mu V$ と $-\lambda V$ になる、ここがこの導出の要点である。

生命保険数理版との違いは1項だけ

生保数理のティーレは

$\dfrac{d}{dt}{}_{t}V=\delta\,{}_{t}V+P-\mu_{x+t}\left(S-{}_{t}V\right)$

で、展開すると $P+\delta\,{}_{t}V+\mu\,{}_{t}V-\mu\,S$ になる。年金数理版との差は $-\lambda\,{}_{t}V_{x}$ の1項だけである。年金数理では責任準備金を給与1あたりで持つので、分母の給与が伸びるぶんを引く必要がある。生保の式をそのまま持ってくると昇給力のぶんだけ合わない。

どこで出るか

2021年度問題3は、（1）で離散モデルからファクラーの再帰式（NEN056）を導かせ、（2）で連続モデルからティーレの公式を導かせる対の構成になっている（各8点）。（2）は導出過程の空欄10個を、対数・保険料率・利力・脱退力・昇給力の項の選択肢から選ぶ形である。式を丸暗記しても空欄は埋まらない。各項がどの操作から出てきたかを言えるようにしておく。

・加入から定年までは10年、加入時の責任準備金は0

・給与1あたりの保険料率 $P$ は連続払いで一定

係数をまとめて $k=\delta+\mu-\lambda=0.12$ と置く。

（1）保険料率を決める

将来法で書くと、$\bar a=\dfrac{1-e^{-0.12\times10}}{0.12}=5.823382$ を使って

$0=\mu\,s\,\bar a+e^{-1.2}\,s-P\,\bar a=0.3\times5.823382+0.301194\times3-P\times5.823382$

$P=\dfrac{1.747014+0.903583}{5.823382}=0.455165$

（2）微分方程式を解いても同じ値になる

係数が一定なので $\dfrac{dV}{dt}=k\,V+(P-\mu\,s)$ であり、$V(0)=0$ から

$V(t)=\dfrac{P-\mu\,s}{k}\left(e^{kt}-1\right)=\dfrac{0.155165}{0.12}\left(e^{0.12t}-1\right)$

$t=10$ で $V(10)=3.000000$ となり、定年時の給付倍率3にちょうど届く。$t=5$ では $V(5)=1.063031$ で、将来法の積分で計算しても同じ 1.063031 である。2つの経路が一致することが検算になる。

（3）5項の内訳を見る（$t=5$ の時点）

・保険料：$P=0.455165$

・利息：$\delta\,V=0.05\times1.063031=0.053152$

・脱退による配分：$\mu\,V=0.10\times1.063031=0.106303$

・昇給による目減り：$-\lambda\,V=-0.03\times1.063031=-0.031891$

・脱退給付：$-s\,\mu=-3\times0.10=-0.300000$

合計は $0.282728$ で、閉形式の微分 $(P-\mu s)\,e^{0.6}=0.155165\times1.822119=0.282728$ と一致する。

（4）離散版とつながっていることの確認

同じ前提でファクラーの再帰式を刻み幅 $h$ で回すと、$h=1$ 年（10回）では $V(10)=3.767029$、$h=0.1$ 年では $3.076073$、$h=0.001$ 年では $3.000760$ と、刻みを細かくするほど連続版の 3.000000 に近づく。ティーレの公式が「ファクラーの極限」であることが数値でも見える。

（5）昇給力の項を落とすとどれだけずれるか

$-\lambda\,V$ を落として（＝生命保険数理版の式で）保険料を決めると $P=0.429248$ になり、正しい $0.455165$ より約5.7 パーセント過小である。逆に正しい $P$ のまま昇給力を無視して積み上げると $V(10)=3.601566$ となり、必要額3を2割も超える。1項の欠落が数パーセントでは済まない。